Théorie > Algèbre

Introduction

Cette section reprend les chapitres d'algèbre autres que ceux concernant les équations fonctionnelles et les inégalités. Les problèmes rentrant dans cette catégorie sont généralement liés aux polynômes ou aux suites : c'est les sujets que nous abordons ici. Il existe aussi des problèmes originaux qu'on ne peut pas réellement classer et dont la solution consiste souvent à enchaîner des arguments logiques faisant intervenir peu de théorie.

Chapitres

L'accès aux exercices d'un chapitre est autorisé à partir du moment où ses chapitres prérequis ont été complétés, c'est-à-dire quand tous les exercices de ceux-ci ont été résolus.

Nombres complexes

Avoir une intuition des nombres complexes n'est pas chose facile, puisqu'ils n'apparaissent pas de manière évidente dans la nature. Ils ne sont cependant pas pour autant inutiles et, quoique les énoncés de problèmes d'olympiades ne contiendront probablement jamais de nombres complexes, leur bonne connaissance permet de résoudre certains problèmes de manière beaucoup plus directe. Les nombres complexes peuvent également être utilisés en géométrie.

Théorie

Exercices

Polynômes

Nous donnons dans ce chapitre les premières définitions et les premiers résultats concernant les polynômes et leurs racines. Le théorème fondamental de l'algèbre s'intéresse notamment au nombre de racines d'un polynôme à coefficients complexes, et permet l'écriture de tout tel polynôme sous la forme d'un produit plutôt que d'une somme de différents termes.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Nombres complexes

Théorie

Exercices

Nombres complexes (forme exponentielle)

Multiplier deux nombres complexes ou élever un nombre complexe à une certaine puissance donne lieu à des formules peu attrayantes lorsqu'on utilise la forme habituelle $a+ib$. Nous présentons dans ce chapitre la forme trigonométrique et la forme exponentielle des nombres complexes, qui ont une interprétation géométrique et permettent de multiplier ou d'élever à une puissance de manière beaucoup plus efficace.

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Théorie

Exercices

Polynômes (suite)

Il existe un grand nombre de résultats faisant intervenir des polynômes. Nous expliquons ici les formules de Viète, la formule d'interpolation de Lagrange et la formule de Taylor. Nous nous intéressons ensuite à l'irréducibilité des polyômes à coefficients rationnels ou entiers.

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Théorie

Exercices

Suites

Les suites interviennent souvent dans les problèmes d'algèbre, que ce soit dans leur énoncé ou de manière plus cachée. Dans tous les cas, il faut être capable d'analyser une suite de nombres et d'en trouver les propriétés pour résoudre ces problèmes.

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Exercices