Théorie > Inégalités

Introduction

Les problèmes d'inégalités sont généralement considérés comme des problèmes d'algèbres, mais ceux-ci sont en fait assez à part. Pour résoudre efficacement des inégalités, il faut plusieurs atouts : savoir manipuler les inégalités avec aisance, connaître les changements de variables et astuces fréquentes, et surtout maîtriser les inégalités remarquables. Les différents chapitres de cette section ont pour but d'aider les étudiants dans chacun de ces domaines.

Chapitres

L'accès aux exercices d'un chapitre est autorisé à partir du moment où ses chapitres prérequis ont été complétés, c'est-à-dire quand tous les exercices de ceux-ci ont été résolus.

Introduction aux inégalités

Nous expliquons dans ce premier chapitre le principe des problèmes d'inégalités. Nous donnons également les résultats basiques permettant de manipuler les inégalités correctement ainsi que les inégalités relatives aux polynômes du second degré. Ce sont ces dernières qui sont à la base de la plupart des inégalités remarquables présentées dans la suite du cours.

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Exercices

Inégalités des moyennes

Les inégalités des moyennes font partie des inégalités les plus connues et les plus couramment utilisées. Elles se révèlent utiles à la résolution de nombreuses inégalités et interviennent également dans certains problèmes de géométrie ou de théorie des nombres.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Introduction aux inégalités

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Exercices

Boîte à outils des inégalités

Ce chapitre rassemble différentes astuces courantes et changements de variables particuliers permettant parfois de simplifier des inégalités. En particulier, il existe plusieurs méthodes pour faire disparaître une condition a priori difficile à exploiter du type $abc=1$.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Introduction aux inégalités

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Exercices

Inégalités vectorielles

Nous voyons dans ce chapitre l'inégalité de Cauchy-Schwarz ainsi que l'inégalité triangulaire. Elles ont la particularité d'avoir une signification vectorielle, c'est-à-dire géométrique. L'inégalité de Cauchy-Schwarz est particulièrement connue et se rencontre dans de nombreux domaines.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Introduction aux inégalités

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Exercices

Inégalités portant sur l'ordre

L'inégalité de réarrangement et l'inégalité de Tchebychev requièrent de l'information sur l'ordre des différentes variables pour être utilisées. En pratique, une telle information peut par exemple être donnée dans l'énoncé ou être supposée sans perte de généralité grâce à la symétrie de l'inégalité considérée.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Boîte à outils des inégalités

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Exercices

Inégalités de Muirhead et de Schur

Lorsqu'on désire démontrer une inégalité contenant diverses fractions, il est parfois tentant (souvent en dernier recours) de tout mettre au même dénominateur, pour obtenir une inégalité équivalente à la forme d'un polynôme à plusieurs variables. Le nombre de termes dans l'inégalité obtenue est alors souvent conséquent, et l'inégalité de Muirhead est un outil pouvant s'avérer utile dans une telle situation. Lorsque celle-ci ne permet pas de conclure, l'inégalité de Schur peut aussi aider puisqu'elle traîte un cas que l'inégalité de Muirhead ne couvre pas.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Inégalités des moyennes - Boîte à outils des inégalités

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Exercices

Convexité et inégalité de Jensen

À partir de l'allure du graphe d'une fonction, on peut dire qu'elle est convexe ou concave. Nous donnons ici dans un premier temps les définitions rigoureuses de ces notions. La concavité d'une fonction peut en fait être exploitée dans des problèmes d'inégalités via l'inégalité de Jensen : c'est l'objet de ce chapitre.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Inégalités des moyennes

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Exercices

Généralisation des moyennes

Les inégalités des moyennes, précédemment présentées, peuvent être généralisées de deux manières. La première consiste à voir les $4$ moyennes habituelles comme des cas particuliers de moyennes dépendant d'un paramètre réel $p$, appelées moyennes généralisées. L'inégalité des moyennes se réécrit alors en termes du paramètre $p$, ce qui nous donne une classe infinie de nouvelles inégalités. Il est aussi possible de généraliser les moyennes en rajoutant des pondérations : on parle alors de moyennes pondérées.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Convexité et inégalité de Jensen

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Exercices

Inégalités de Hölder et de Minkowski

L'inégalité de Hölder est une généralisation de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, alors que l'inégalité de Minkowski est une généralisation de l'inégalité triangulaire. Ces inégalités ne sont pas fréquemment utilisées mais il ne faut pas pour autant les négliger. En effet, lorsqu'elles sont utiles dans un problème, il est très difficile de s'en passer. C'est d'ailleurs pour cette raison que leur preuve n'est pas évidente.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Inégalités vectorielles - Généralisation des moyennes - Boîte à outils des inégalités

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