Lien avec la théorie des ensembles
Les ensembles peuvent être définis à l'aide d'une proposition. Par exemple,
$$A = \{n \in \mathbb{Z} \mid (n \geq -1) \land (n < 4)\} = \{-1, 0, 1, 2, 3\}.$$ Cette similitude rend la logique et la théorie des ensembles assez proches.
Similitudes
La relation d'inclusion s'apparente par exemple à une implication. En effet, $A \subseteq B$ est équivalent à $x \in A \Rightarrow x \in B$.
Aussi, les opérations $\lor$ et $\cup$ n'ont pas que leurs symboles qui se ressemblent puisqu'on a
$$A \cup B = \{x \mid (x \in A) \lor (x \in B)\}$$ et similairement pour $\land$ et $\cap$,
$$A \cap B = \{x \mid (x \in A) \land (x \in B)\}.$$ Le complémentaire est quant à lui lié à la négation logique $\lnot$ :
$$A^c = \{x \in U \mid \lnot (x \in A)\}$$ où $U$ est l'univers.
L'ensemble vide $\emptyset$ s'apparente enfin à $0$ et l'univers $U$ à $1$.
Toutes les relations que nous avons vues dans le cadre de la logique peuvent alors être réécrites dans le cadre de la théorie des ensembles.
Commutativité et associativité, neutre et absorbant
Les opérations $\cup$ et $\cap$ sont associatives et commutatives.
Le neutre de $\cup$ est $\emptyset$ et celui de $\cap$ est $U$ :
$$\begin{align*}
\emptyset \cup A & = A, & U \cap A & = A.
\end{align*}$$ L'absorbant de $\cup$ est $U$ et celui de $\cap$ est $\emptyset$ :
$$\begin{align*}
U \cup A & = U, & \emptyset \cap A & = \emptyset.
\end{align*}$$
Lois de De Morgan
Les lois de De Morgan pour les ensembles sont
$$\begin{align*}
(A \cup B)^c & = A^c \cap B^c,\\
(A \cap B)^c & = A^c \cup B^c.
\end{align*}$$
Distributivité
Comme pour $\lor$ et $\land$, on a la distributivité
$$\begin{align*}
(A \cup B) \cap C & = (A \cap C) \cup (B \cap C),\\
(A \cap B) \cup C & = (A \cup C) \cap (B \cup C).
\end{align*}$$
Contraposition
La contraposition devient finalement
$$(A \subseteq B) \Leftrightarrow (B^c \subseteq A^c).$$