Chaque chapitre est constitué de points théoriques et d'exercices. Ces derniers ont pour but de vérifier que la théorie a bien été assimilée. Ils rapportent chacun entre 3 et 12 points, selon leur difficulté. Pour compléter un chapitre, il faut résoudre tous ses exercices.
Certains chapitres ont d'autres chapitres pour prérequis. Pour accéder aux exercices d'un tel chapitre, il est nécessaire de d'abord compléter ses chapitres prérequis.
Les équations fonctionnelles sont des équations portant sur des fonctions. Il s'agit d'un sujet assez distinct des autres branches des mathématiques et dans lequel la logique suffit à résoudre bon nombre de problèmes. Il existe peu de théorie et l'expérience suffit généralement amplement. Les méthodes classiques de résolution d'équations fonctionnelles sont ici détaillées, ainsi qu'un grand nombre de problèmes permettant de les explorer.
Les chapitres de cette section sont ordonnés selon leur importance (des plus primordiaux aux plus avancés).
Les chapitres suivants reprennent la théorie essentielle relative à cette section.
Introduction aux équations fonctionnelles |
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Dans les équations que l'on a l'habitude de résoudre, l'inconnue est un nombre réel (voire un entier ou un naturel). Le principe des équations fonctionnelles est, comme son nom l'indique, différent : les inconnues sont ici des fonctions. Nous expliquons en détails dans ce chapitre de quoi il s'agit, avant de donner la méthode fondamentale dans la résolution de ces équations : les substitutions.
Statistiquesdepuis le 8 décembre 2014 Taux de réussite : 69% |
Boîte à outils des équations fonctionnelles |
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Il n'existe pas de réelle théorie pure permettant de résoudre toutes les équations fonctionnelles. La connaissance de diverses approches est donc primordiale, c'est pourquoi nous présentons dans ce chapitre plusieurs méthodes et astuces pouvant se révéler utiles.
Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre, vous devez d'abord compléter : Introduction aux équations fonctionnelles ExercicesStatistiquesdepuis le 8 décembre 2014 Taux de réussite : 68% |
Les chapitres suivants, un peu plus avancés, reprennent les résultats classiques de cette section.
Injectivité et surjectivité |
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L'injectivité et la surjectivité sont des propriétés des fonctions très intéressantes. Dans une équation fonctionnelle, réussir à montrer que les solutions sont forcément injectives ou surjectives est souvent un grand pas dans la résolution de l'équation. Il est en effet possible d'utiliser ces propriétés de manière très efficace dans la suite du raisonnement.
Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre, vous devez d'abord compléter : Introduction aux équations fonctionnelles ThéorieExercicesStatistiquesdepuis le 8 décembre 2014 Taux de réussite : 84% |
Équation de Cauchy |
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Dans ce chapitre, nous nous intéressons à l'équation particulière $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Nous traitons, dans l'ordre, les cas où le domaine de $f$ est $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$. Quel que soit le cas considéré, les fonctions $f(x)=ax$ où $a \in \mathbb{R}$ sont clairement des solutions, et nous montrons que ce sont les seules si le domaine est $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ ou $\mathbb{Q}$. Avec des hypothèses supplémentaires sur $f$, ce sera en fait aussi le cas si le domaine est $\mathbb{R}$. Les méthodes que nous utilisons pour résoudre cette équation sont en fait assez générales et peuvent dès lors s'appliquer à d'autres équations.
Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre, vous devez d'abord compléter : Introduction aux équations fonctionnelles ExercicesStatistiquesdepuis le 8 décembre 2014 Taux de réussite : 78% |