Comme annoncé dans l'introduction, si le domaine de définition de $f$ est $\mathbb{N}$, nous avons une description complète des solutions de l'équation de Cauchy.
Il suffit de prouver que $f(x)=f(1) \cdot x$ pour tout $x \in \mathbb{N}$ (et $a$ sera alors donné par $f(1)$). Faisons-le par récurrence :
- Cas de base : pour $x=0$ : En remplaçant $x$ et $y$ par $0$ dans l'équation, nous obtenons $f(0)=f(0)+f(0)$ et donc $f(0)=0$.
- Pas récurrent : Supposons que $f(x)=f(1)\cdot x$ pour un certain $x \in \mathbb{N}$ et prouvons que $f(x+1)=f(1)\cdot (x+1)$. Il suffit de calculer
$$f(x+1)=f(x)+f(1)=f(1)\cdot x+f(1)=f(1)\cdot (x+1).$$
Remarquons que, dans la preuve précédente, le domaine d'arrivée ne joue pas un grand rôle. Par exemple, si $f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ satisfait l'équation de Cauchy, alors la même preuve nous dit que $f(x)=ax$ pour un certain $a \in \mathbb{N}$.