Chaque chapitre est constitué de points théoriques et d'exercices. Ces derniers ont pour but de vérifier que la théorie a bien été assimilée. Ils rapportent chacun entre 3 et 12 points, selon leur difficulté. Pour compléter un chapitre, il faut résoudre tous ses exercices.
Certains chapitres ont d'autres chapitres pour prérequis. Pour accéder aux exercices d'un tel chapitre, il est nécessaire de d'abord compléter ses chapitres prérequis.
Cette section reprend les chapitres d'algèbre autres que ceux concernant les équations fonctionnelles et les inégalités. Les problèmes rentrant dans cette catégorie sont généralement liés aux polynômes ou aux suites : c'est les sujets que nous abordons ici. Il existe aussi des problèmes originaux qu'on ne peut pas réellement classer et dont la solution consiste souvent à enchaîner des arguments logiques faisant intervenir peu de théorie.
Les chapitres de cette section sont ordonnés selon leur importance (des plus primordiaux aux plus avancés).
Les chapitres suivants reprennent la théorie essentielle relative à cette section.
Nombres complexes |
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Avoir une intuition des nombres complexes n'est pas chose facile, puisqu'ils n'apparaissent pas de manière évidente dans la nature. Ils ne sont cependant pas pour autant inutiles et, quoique les énoncés de problèmes d'olympiades ne contiendront probablement jamais de nombres complexes, leur bonne connaissance permet de résoudre certains problèmes de manière beaucoup plus directe. Les nombres complexes peuvent également être utilisés en géométrie.
Statistiquesdepuis le 8 décembre 2014 Taux de réussite : 66% |
Polynômes |
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Nous donnons dans ce chapitre les premières définitions et les premiers résultats concernant les polynômes et leurs racines. Le théorème fondamental de l'algèbre s'intéresse notamment au nombre de racines d'un polynôme à coefficients complexes, et permet l'écriture de tout tel polynôme sous la forme d'un produit plutôt que d'une somme de différents termes.
Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre, vous devez d'abord compléter : Nombres complexes ExercicesStatistiquesdepuis le 8 décembre 2014 Taux de réussite : 74% |
Suites |
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Les suites interviennent souvent dans les problèmes d'algèbre, que ce soit dans leur énoncé ou de manière plus cachée. Dans tous les cas, il faut être capable d'analyser une suite de nombres et d'en trouver les propriétés pour résoudre ces problèmes.
Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre, vous devez d'abord compléter : Polynômes ExercicesStatistiquesdepuis le 8 décembre 2014 Taux de réussite : 70% |
Les chapitres suivants, un peu plus avancés, reprennent les résultats classiques de cette section.
Nombres complexes (forme exponentielle) |
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Multiplier deux nombres complexes ou élever un nombre complexe à une certaine puissance donne lieu à des formules peu attrayantes lorsqu'on utilise la forme habituelle $a+ib$. Nous présentons dans ce chapitre la forme trigonométrique et la forme exponentielle des nombres complexes, qui ont une interprétation géométrique et permettent de multiplier ou d'élever à une puissance de manière beaucoup plus efficace.
Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre, vous devez d'abord compléter : Nombres complexes ExercicesStatistiquesdepuis le 8 décembre 2014 Taux de réussite : 65% |
Polynômes (suite) |
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Il existe un grand nombre de résultats faisant intervenir des polynômes. Nous expliquons ici les formules de Viète, la formule d'interpolation de Lagrange et la formule de Taylor. Nous nous intéressons ensuite à l'irréductibilité des polynômes à coefficients rationnels ou entiers.
Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre, vous devez d'abord compléter : Polynômes ExercicesStatistiquesdepuis le 8 décembre 2014 Taux de réussite : 76% |
Les chapitres suivants reprennent des notions plus rarement utiles en compétition mais qui peuvent devenir assez puissantes si bien maitrisées.
Analyse discrète |
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Ce chapitre est plutôt un chapitre de découverte, dans lequel nous nous attaquerons à quelques notions d'analyse discrète et les appliquerons à des problèmes de polynômes. Pour ceux ayant déjà vu les définitions usuelles de dérivées et intégrales, nous ferons des parallèles entre les résultats usuels et discrets. Dans le cas contraire, vous pouvez voir l'analyse discrète comme un prototype de l'analyse "infinitésimale", qui pourrait donc vous aider par la suite.
Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre, vous devez d'abord compléter : Divisibilité et nombres premiers - Coefficients binomiaux - Polynômes (suite) ExercicesStatistiquesdepuis le 23 février 2020 Taux de réussite : 34% |
Entiers algébriques |
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Un nombre algébrique est simplement une racine d'un polynôme à coefficients entiers. Dans ce chapitre, nous parlerons des entiers algébriques, un type bien particulier de nombres algébriques. Ces nombres ont des applications puissantes en théorie des nombres, et nous finirons par démontrer la loi de réciprocité quadratique, énoncée sans démonstration dans un chapitre précédent.
Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre, vous devez d'abord compléter : Suites - Coefficients binomiaux - Nombres complexes (forme exponentielle) - Polynômes (suite) - Racines primitives et résidus quadratiques ThéorieExercicesStatistiquesdepuis le 28 juillet 2021 Taux de réussite : 29% |