Ce point théorique explique comment les modulos peuvent être utilisés dans le contexte des entiers algébriques. On utilisera notamment cela pour démontrer la loi de réciprocité quadratique.
Définition
On peut définir les congruences dans $\overline{\mathbb Z}$ de la même manière que dans $\mathbb Z$.
Le fait que $\overline{\mathbb Z}\cap \mathbb Q=\mathbb Z$ nous permet de faire des congruences dans $\overline{\mathbb Z}$ pour ensuite se ramener à des congruences dans $\mathbb Z$. Plus précisement, si $a$, $b$ et $n\ne0$ sont des entiers rationnels, alors $a\equiv b\pmod n$ dans $\overline{\mathbb Z}$ a le même sens que $a\equiv b\pmod n$ dans $\mathbb Z$ (et c'est pour cela que nous utilisons la même notation).
En effet, par définition, le premier signifie que $\frac{a-b}n$ est un entier algébrique. Le deuxième quant à lui signifie que $\frac{a-b}n$ est un entier rationnel. Or on sait déjà que $\frac{a-b}n$ est rationnel, donc ces deux affirmations sont équivalentes d'après $\overline{\mathbb Z}\cap \mathbb Q=\mathbb Z$.
Nous verrons plus tard que $\overline{\mathbb Z}$ est clos sous l'addition et la multiplication, ce qui veut dire qu'on peut manipuler ces congruences comme on le ferait dans $\mathbb Z$.
Morphisme de Frobenius
Par la
formule du binôme de Newton, pour tous $a,b\in\overline{\mathbb Z}$ et $p$ premier on a $$(a+b)^p=\sum_{k=0}^p C_p^k \cdot a^k \cdot b^{p-k} \equiv a^p+b^p\pmod p$$ car $p\mid C_p^k =\dfrac{p!}{k!(p-k)!}$ lorsque $k\not\in\{0,p\}$. En effet, le numérateur de cette expression est divisible par $p$, mais pas le dénominateur.
On en déduit ainsi le résultat suivant par récurrence immédiate.
Théorème (Morphisme de Frobenius)
Soit $p$ un nombre premier et soient $x_1,\ldots, x_n$ des entiers algébriques. Alors, $$\left(\sum_{k=1}^nx_k\right)^p\equiv\sum_{k=1}^nx_k^p\pmod p.$$
Notez que, lorsque $x_1=\ldots=x_n=1$, on obtient $n^p\equiv n$, c’est-à-dire le petit théorème de Fermat. Le morphisme de Frobenius constitue donc une généralisation du petit théorème de Fermat.
Application
On peut utiliser ce résultat pour résoudre le problème suivant.
Solution
On commence par regarder le polynôme caractéristique de la suite, $X^3-X-1$, dont nous notons les racines $x,y,z$. Un rapide calcul montre qu'elles sont distinctes, car la dérivée du polynôme vaut $3X^2-1$ mais $\pm\dfrac1{\sqrt3}$ n'est pas racine du polynôme caractéristique. D'après
ce point théorique, on sait qu'il existe des constantes $u,v,w \in \mathbb C$ telles que $$a_n=ux^n+vy^n+wz^n$$ pour tout $n\ge0$. Si $u,v,w$ sont des entiers rationnels, alors le problème est résolu puisque
$$\begin{array}{rll}
a_p&=ux^p+vy^p+wz^p\\
&\equiv(ux)^p+(vy)^p+(wz)^p&\text{par le théorème de Fermat}\\
&\equiv(ux+vy+wz)^p&\text{par Frobenius}\\
&=a_1^p=0\pmod p
\end{array}$$ pour tout $p$ premier.
Or, on peut s'apercevoir que
$$x^0+y^0+z^0=3=a_0$$ (car $x,y,z\ne0$),
$$x^1+y^1+z^1=0=a_1$$ par les formules de Viète et
$$x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=2=a_2$$ toujours par Viète. On en déduit qu'on a simplement $u=v=w=1$, qui sont bien des entiers rationnels comme espéré.
En fait, les suites récurrentes font apparaître naturellement des nombres algébriques. En effet, quand le polynôme caractéristique est à coefficients entiers rationnels, les termes intervenant dans la formule de la suite sont des nombres algébriques. Nous n'explorerons cependant pas plus ce lien dans ce chapitre.