Nous avons vu que tout polynôme $P$ à coefficients complexes pouvait s'écrire de deux manières bien distinctes. La première est simplement l'écriture habituelle des polynômes avec leurs coefficients :
$$P(x) = c_n x^n + c_{n-1}x^{n-1} + \ldots + c_1 x + c_0$$ La deuxième fait intervenir les $n$ racines (comptées avec leur multiplicité) $r_1, r_2, \ldots, r_n$ de $P$ :
$$P(x) = c_n (x-r_1)(x-r_2)\ldots(x-r_n)$$ Puisqu'il s'agit de deux façons d'écrire un seul et même polynôme, on peut directement trouver des formules reliant les coefficients $c_i$ aux racines $r_i$. En effet, pour chaque $i \in \{0, 1, \ldots, n\}$, on peut calculer le coefficient de $x^i$ à partir de la deuxième forme et on sait qu'il doit être égal à $c_i$. Par exemple, pour $n = 3$, on peut développer la deuxième forme et obtenir
$$\begin{align}
P(x) &= c_3(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3) \\
&= c_3(x^3 - (r_1+r_2+r_3)x^2 + (r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1) x - r_1r_2r_3)
\end{align}$$ On en déduit que l'on a les formules (pour $n = 3$) :
$$\left\{ \begin{array}{l}
c_2 = -c_3 (r_1+r_2+r_3) \\[1mm]
c_1 = c_3 (r_1r_2 + r_2 r_3 + r_3r_1) \\[1mm]
c_0 = -c_3 (r_1r_2r_3)
\end{array}\right.
\quad \Leftrightarrow \quad
\left\{ \begin{array}{l}
r_1+r_2+r_3 = -\frac{c_2}{c_3}\\
r_1r_2 + r_2 r_3 + r_3r_1 = \frac{c_1}{c_3} \\
r_1r_2r_3 = -\frac{c_0}{c_3}
\end{array}\right.
$$ On peut effectuer le même raisonnement pour un polynôme de degré $n$, et on trouve les formules suivantes.
Formules de Viète
Soit un polynôme
$$P(x) = c_n x^n + c_{n-1} x^{n-1} + \ldots + c_1 x + c_0$$ à coefficients dans $\mathbb{C}$ et $r_1, r_2, \ldots, r_n$ les $n$ racines de $P$. On a
$$\left\{ \begin{array}{l}
r_1+r_2+\ldots + r_n = -\frac{c_{n-1}}{c_n}\\
r_1r_2 + r_1 r_3 + \ldots + r_1 r_n + r_2 r_3 + \ldots + r_{n-1}r_n = \frac{c_{n-2}}{c_n} \\
r_1r_2r_3 + r_1 r_2 r_4 + \ldots + r_1 r_2 r_n + r_1 r_3 r_4 + \ldots + r_{n-2} r_{n-1} r_n = -\frac{c_{n-3}}{c_n}\\
\quad \vdots \\
r_1r_2\ldots r_n = (-1)^n \cdot \frac{c_0}{c_n}
\end{array}\right.
$$ Autrement dit, pour tout $k \in \{1, \ldots, n\}$, la somme de tous les produits de $k$ racines est égale à $\displaystyle(-1)^k \cdot \frac{c_{n-k}}{c_n}$, ce que l'on peut encore écrire à l'aide d'un signe somme :
$$\sum_{i_1 < \ \ldots \ < i_k}r_{i_1} r_{i_2}\ldots r_{i_k} = (-1)^k \cdot \frac{c_{n-k}}{c_n}.$$
Lorsqu'on est en présence d'un polynôme sous sa forme habituelle, on peut donc directement connaître la somme et le produit de ses racines en calculant $\displaystyle -\frac{c_{n-1}}{c_n}$ et $\displaystyle (-1)^n \cdot \frac{c_0}{c_n}$. On peut également connaître la somme de tous les produits de $k$ racines, ces formules étant plus rarement utilisées (mais il ne faut pas pour autant les oublier). En particulier, si le polynôme est unitaire, c'est-à-dire si $c_n = 1$, alors les coefficients donnent directement ces valeurs (au signe près).
Exemple : Soit $P(x) = 4x^5 - 3 x^4 + 2x^2 + 1$. La somme des $5$ racines de $P$ est égale à $\frac{3}{4}$ et le produit de celles-ci est égal à $-\frac{1}{4}$. (Il faut faire attention au fait que le signe dans la formule pour le produit dépend de la parité de $n$.)