Périodicité et convergence
Lorsque dans un problème, une certaine suite intervient, il est bon quelque soit la façon dont elle est définie d'explorer ses propriétés éventuelles. Pour ce faire, il est primordial d'écrire (autant que possible) les premiers éléments de la suite pour s'en faire une bonne intuition.
Périodicité
Remarquer qu'une suite est périodique est très intéressant puisqu'on peut alors connaître précisément tous les éléments de la suite.
Intéressons-nous par exemple à la suite $(c_n)$ définie par $c_0 = 0$ et, pour $n \geq 1$, $c_n = 1+d$ où $d$ est le dernier chiffre de $c_0 + c_1 + \ldots + c_{n-1}$. La première chose à faire est bien sûr de regarder les premiers termes de cette suite. Ceux-ci sont
$$0, 1, 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, 2, \ldots$$ Il semblerait que la suite soit périodique de période $4$, puisque les quatre éléments $2, 4, 8, 6$ semblent se répéter continuellement. La deuxième étape est alors de le prouver. Dans notre exemple, on peut le montrer par récurrence. Supposons que les éléments $2, 4, 8, 6$ se répètent en permanence à partir de $c_2$ et jusque $c_n$ (ce qui est le cas pour $n = 10$ au vu du calcul des premiers éléments) et montrons qu'on a alors $c_{n+1} = c_{n-3}$, ce qui suffira. Par définition, on sait que
$$c_{n+1} = 1 + d,$$ où $d$ est le dernier chiffre de $c_0 + c_1 + \ldots + c_n$. Mais on sait aussi que les chiffres $2, 4, 8, 6$ se répètent jusque $c_n$, ce qui signifie que les quatre nombres $c_n, c_{n-1}, c_{n-2}$ et $c_{n-3}$ sont exactement $2, 4, 6$ et $8$ (dans un autre ordre), d'où
$$c_n + c_{n-1} + c_{n-2} + c_{n-3} = 2+4+6+8=20.$$ On en déduit que $d$ est également le dernier chiffre de $c_0 + c_1 + \dots + c_{n-4}$, ce qui signifie qu'il s'agit du même chiffre que celui intervenant dans la définition de $c_{n-3}$. On a donc $c_{n+1} = c_{n-3}$ comme voulu, et la suite est bel et bien périodique de période $4$.
Convergence
Nous avons déjà vu un exemple sans le montrer rigoureusement, puisqu'on a dit que la suite de Fibonacci était telle que
$$\frac{F_{n+1}}{F_n} \to \phi.$$ Cette définition peut sembler surtout utile pour une suite de nombres réels (non entiers), mais elle a aussi un sens lorsqu'on s'intéresse à une suite de nombres entiers. Dans un tel cas, une suite $(a_n)$ tend vers $a$ s'il existe un certain $N \in \mathbb{N}$ tel que
$$a_n = a \ \text{ pour tout } n \geq N,$$ c'est-à-dire si elle finit par être constamment égale à $a$.
Regardons cette-fois la suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}_0}$ définie par $a_n = $ nombre de puissances $n$-èmes parfaites positives ayant exactement $n$ chiffres et contenant le dernier chiffre de $n$, dont les premiers éléments sont
$$1, 1, 1, 2, 1, \ldots$$ Lorsqu'on calcule les premiers termes de la suite (ce qui n'est cette fois-ci pas totalement évident), on se rend vite compte qu'il y a de moins en moins de puissances $n$-èmes parfaites ayant exactement $n$ chiffres lorsque $n$ grandit (même sans la condition sur le dernier chiffre de $n$). Cela vient du fait que de telles puissances sont forcément de la forme $t^n$ avec $t < 10$ (car $10^n$ contient déjà $n+1$ chiffres). Mais $t$ ne doit pas non plus être trop petit puisqu'alors $t^n$ ne contient pas assez de chiffres. Par exemple, pour $n = 3$ on doit avoir $t \geq 5$ et pour $n = 5$, $t \geq 7$. On pourrait donc logiquement penser qu'il y aura même un moment où plus aucune puissance $n$-ème parfaite n'aura exactement $n$ chiffres ! Cela arrivera si
$$9^n < 10^{n-1},$$ ce que l'on peut réécrire
$$\left(\frac{9}{10}\right)^n < \frac{1}{10}.$$ Or, cette dernière inégalité devient toujours clairement vraie à partir d'un certain $N$. Nous venons donc montrer que la suite $(a_n)$ tend vers $0$, puisqu'elle devient constamment égale à $0$ pour les $n \geq N$.