Théorie > Équations fonctionnelles > Équation de Cauchy

Dans ce chapitre, nous nous intéressons à l'équation particulière $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Nous traitons, dans l'ordre, les cas où le domaine de $f$ est $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$. Quel que soit le cas considéré, les fonctions $f(x)=ax$ où $a \in \mathbb{R}$ sont clairement des solutions, et nous montrons que ce sont les seules si le domaine est $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ ou $\mathbb{Q}$. Avec des hypothèses supplémentaires sur $f$, ce sera en fait aussi le cas si le domaine est $\mathbb{R}$. Les méthodes que nous utilisons pour résoudre cette équation sont en fait assez générales et peuvent dès lors s'appliquer à d'autres équations.