Nous venons de voir que l'injectivité et la surjectivité d'une fonction peuvent grandement nous aider dans un problème. Rien de tel alors si la fonction est à la fois injective et surjective !
Exemples :
- $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}:x \mapsto 3x$ est bijective.
- $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}:z \mapsto 3z$ n'est pas bijective car elle n'est pas surjective.
- $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}:z \mapsto |z|$ n'est pas bijective car elle n'est pas injective.
Si on reprend les définitions d'injectivité et de surjectivité, on se rend compte qu'une fonction est bijective si et seulement si pour tout $b \in B$, il existe un unique élément $a \in A$ tel que $f(a) = b$. On peut donc dans ce cas construire une fonction
inverse de $f$ qui va de $B$ dans $A$ et fait exactement "l'inverse de $f$" :
Lemme
Soit $f: A \to B$ une fonction. $f$ est bijective si et seulement s'il existe une fonction $f^{-1}: B \to A$ telle que $f^{-1}(f(a))=a$ pour tout $a \in A$ et $f(f^{-1}(b))=b$ pour tout $b \in B$. La fonction $f^{-1}$ s'appelle alors l'inverse de $f$.
Par exemple, l'inverse de la fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}:x \mapsto 3x$ est $f^{-1}: \mathbb{R} \to \mathbb{R}:x \mapsto \frac{x}{3}$.