Théorie > Équations fonctionnelles > Injectivité et surjectivité

Imaginons maintenant que, lors de la résolution d'une équation fonctionnelle, on obtienne l'équation $f(f(y))=2f(y)$ pour tout $y \in \mathbb{R}$. On pourrait se dire : "pour tout $x \in \mathbb{R}$, je prends un $y$ tel que $x=f(y)$ et j'obtiens $f(x)=2x$". Il suffirait alors de conclure. Malheureusement, rien ne nous garantit qu'un tel $y$ existe. Il faudrait en fait prouver que $f$ est surjective pour que le raisonnement soit valable :


Exemples :

1. La fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto 2x$ est surjective. En effet, tout $x \in \mathbb{R}$ est l'image par $f$ d'un réel : $f(\frac{x}{2})=x$.


2. La fonction $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto x^2$ n'est pas surjective. En effet, il n'existe pas de réel $x$ tel que $f(x)=-1$.


3. La fonction $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}: z \mapsto 2z$ n'est pas surjective. En effet, il n'existe pas d'entier $z$ tel que $f(z)=1$.

Application aux équations fonctionnelles

Dans un problème concret, la façon la plus courante de prouver que toutes les solutions sont surjectives est de parvenir à obtenir une expression du type $x = f(\ldots)$ pour tout $x \in B$. En effet, cela montrerait directement que tout élément de $B$ est effectivement dans l'image de $f$.


Posons $y=0$. Nous obtenons
$$f(x^2+f(0))=2x-f(0).$$ Maintenant, remplaçons $x$ par $\displaystyle\frac{x+f(0)}{2}$ dans cette équation de sorte à faire apparaître $x$ seul dans le membre de droite. Cela nous donne
$$f \left( \left( \frac{x+f(0)}{2} \right) ^2+f(0) \right)=x.$$ Dès lors, tout réel $x$ est dans l'image de $f$ et la fonction $f$ est surjective.