Les substitutions constituent le premier outil pour aborder une équation fonctionnelle. D'ailleurs, même pour résoudre une équation fonctionnelle très difficile, la première étape consistera toujours à faire des substitutions pour trouver d'éventuelles propriétés de la fonction $f$ recherchée. Il est donc important de bien comprendre quelles substitutions sont autorisées, et de les écrire proprement.
Quelles substitutions peut-on faire ?
On ne peut pas substituer n'importe quoi par n'importe quoi d'autre dans une équation fonctionnelle ! Une substitution consiste simplement, lorsqu'une équation est vraie pour tout $x \in A$ (avec $A$ un certain ensemble, typiquement $\mathbb{R}$), à remplacer $x$ par une autre expression dont on sait qu'elle appartient à $A$. L'équation étant vraie pour tout $x \in A$, elle est bien sûr également vraie lorsque $x$ est remplacé par cette nouvelle expression.
Par exemple, si on cherche toutes les fonctions $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ vérifiant $f(f(x)-y) = 2y-f(x)$ pour tous $x, y\in \mathbb{R}$, alors on peut :
- Substituer $y$ par $0$ pour obtenir $f(f(x)) = -f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$,
- Substituer $y$ par $-x$ pour obtenir $f(f(x)+x) = -2x-f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$,
- Substituer $y$ par $f(x)$ pour obtenir $f(0) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Dans chacun de ces exemples, on garde la variable $x \in \mathbb R$ libre et on fixe $y$ (possiblement en fonction de $x$, dans les substitutions b et c).
Par contre,
on ne peut pas "substituer" $f(x)$ par $0$, cela n'aurait pas de sens ! Ni "substituer" $f(x)$ par $y$ (afin d'obtenir $f(0) = y$ pour tout $y \in \mathbb{R}$). On ne peut pas non plus "substituer" $x^2$ par $y$, ou encore "substituer" $2x$ par $y$. La règle est simple : on peut uniquement substituer une variable libre (comme $x$ ou $y$) par une expression (appartenant à l'ensemble dans lequel cette variable varie). Si on souhaite remplacer $2x$ par $y$, il faut donc substituer $x$ par $\frac{y}{2}$.
Note : Nous verrons dans des chapitres plus avancés qu'il est parfois permis de remplacer $f(x)$ par $y$, lorsqu'on a plus d'informations sur la fonction $f$, mais il s'agira en fait toujours de substituer $x$ par quelque chose (en l'occurrence, par un réel $a$ vérifiant $f(a) = y$, dont l'existence n'est a priori pas assurée).
Substituer $x$ par $f(x)$ ?
En présence d'une équation fonctionnelle sur $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, vraie pour tout $x \in \mathbb{R}$, une substitution commune consiste à substituer $x$ par $f(x)$. De façon plus générale, il arrive fréquemment de substituer $x$ par une expression contenant également $x$, comme $-x$ ou même $y-f(x)$.
Il est primordial de réaliser qu'il s'agit là d'un raccourci qui peut se révéler dangereux lorsqu'on ne le maitrise pas. En fait, substituer $x$ par $f(x)$ revient à substituer $x$ par $f(z)$ où $z \in \mathbb{R}$, puis à renommer la variable $z$ en $x$. Par exemple, si $f(f(x) - x) = 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, alors en substituant $x$ par $f(z)$ on obtient $f(f(f(z))-f(z)) = 0$ pour tout $z\in \mathbb R$. Quitte à remplacer la variable $z$ par $x$, cela donne $f(f(f(x))-f(x)) = 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. On peut donc bien substituer $x$ par $f(x)$, mais il faut absolument remplacer tous les $x$ de l'équation par $f(x)$ ! Une erreur commune aurait été de déduire de $f(f(x)-x) = 0$ que $f(0) = 0$ (en "substituant" le deuxième $x$ par $f(x)$ mais pas le premier), mais c'est tout à fait incorrect.
Il est bien sûr autorisé d'utiliser ce raccourci : on ne va pas utiliser une variable intermédiaire $z$ à chaque fois qu'on souhaite remplacer $x$ par $f(x)$ (ou par une autre expression contenant $x$). Vu que c'est un raccourci, il faut toutefois être bien clair dans ce que l'on fait, en disant bien que l'on "substitue $x$ par $f(x)$". Il arrive fréquemment de voir des élèves écrire "Posons $x = f(x)$", ce qui est mathématiquement incorrect. Cette égalité $x = f(x)$ sous-entendrait que le $x$ à gauche n'est pas le même que celui de droite, ce qui serait aberrant.