Il est maintenant temps d'ajouter un piège courant des équations fonctionnelles à notre liste du premier chapitre. Comme précédemment, il sera plus facile de le comprendre avec un exemple. Supposons qu'on obtienne l'équation $f(x)^2=1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Une erreur courante consiste à dire la chose suivante :
"Donc $f(x)=1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ ou $f(x)=-1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Il y a donc seulement deux solutions possibles : vérifions-les."
Ceci est
faux ! En effet, en faisant cela, nous avons oublié une infinité de solutions potentielles : celles qui valent $1$ par endroits et $-1$ aux autres (ce qu'on pourrait appeler des "multigraphes"). De l'équation $f(x)^2=1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, nous pouvons donc seulement déduire : pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x)=1$ ou $f(x)=-1$.
Évidemment, la plupart du temps, ce genre de multigraphe ne sera tout de même pas une solution. Il faudrait alors pour conclure :
- Vérifier si $f(x)=1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $f(x)=-1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ sont des solutions.
- Prouver par l'absurde qu'il n'y a pas de solutions en multigraphes. Pour ce faire, on peut supposer qu'il existe $k \in \mathbb{R}$ tel que $f(k)=1$ et $k' \in \mathbb{R}$ tel que $f(k')=-1$ et tenter de trouver une contradiction.