Aucun prérequis.
Le but de ce chapitre est d'expliquer les bases du système $\LaTeX$, utile à la rédaction de solutions sur Mathraining. Il s'agit de la méthode privilégiée pour la rédaction de documents scientifiques et sa connaissance se révélera dès lors utile à tout qui se destine à une carrière scientifique.
Le $\LaTeX$ est un système de composition de document. ll est très pratique pour écrire des symboles mathématiques et s'est donc imposé dans le domaine scientifique pour la rédaction de documents (articles, livres, transparents, etc). Vous pouvez en quelque sorte le voir comme un Microsoft Word amélioré, beaucoup plus propice à la rédaction des mathématiques. Une fois que vous saurez l'utiliser, vous ne saurez plus vous en passer !
Nous ne vous apprendrons pas ici à rédiger tout un document en $\LaTeX$, mais nous nous concentrerons sur ce qu'il vous sera utile de connaître lorsque vous voudrez envoyer une solution à un problème sur ce site. Celui-ci supporte en effet le $\LaTeX$ et vous pourrez donc très aisément rédiger vos solutions.
Tout texte que vous taperez sur ce site sera considéré comme étant en $\LaTeX$. Le principe de base à savoir est que vous pouvez taper comme vous le feriez d'habitude ce qui est du texte, mais que vous devez placer tout ce qui est mathématique entre \$. Par exemple, si vous voulez écrire "On a alors $x+1=2$ où $x$ est l'inconnue", vous devrez rédiger "On a alors \$x+1=2\$ où \$x\$ est l'inconnue".
On peut utiliser des doubles \$ pour centrer l'équation, seule, à la ligne suivante. En reprenant le même exemple, "On a alors \$\$x+1=2\$\$ où \$x\$ est l'inconnue" donne "On a alors $$x+1 = 2$$ où $x$ est l'inconnue".
Opérations usuelles
Opérations arithmétiques de base
Pour l'addition et la soustraction, vous devez simplement utiliser les symboles + et -.
Pour la multiplication, le symbole $\cdot$, noté \$\cdot\$, est le plus couramment utilisé.
Pour la division, la syntaxe est par contre plus recherchée. Pour écrire $\frac{x+1}{2}$ par exemple, il vous faudra écrire \$\frac{x+1}{2}\$. Vous devez donc mettre entre accolades le numérateur et le dénominateur. Notez que, en $\LaTeX$, les accolades vont toujours servir à délimiter les caractères sur lequels portent une commande. Si vous trouvez que la fraction est trop petite, vous pouvez toujours rajouter \displaystyle avant \frac. Pour notre fraction exemple, cela donne $\displaystyle\frac{x+1}{2}$. En fait, la commande \displaystyle située avant une expression entre simple dollars (qui doit donc apparaître à l'intérieur d'un texte) fait en sorte que cette expression ait la même grandeur qu'entre double dollars. Dans le cas des fractions, il est aussi possible de remplacer \displaystyle\frac par \dfrac, ce qui peut faire gagner un temps précieux.
Exposants et indices
Le symbole associé aux exposants est le ^ et celui relatif aux indices est le _. Si vos exposants ou indices ne font qu'un seul caractère, vous pouvez vous contenter de taper uniquement \$x^2\$ pour $x^2$ et \$x_2\$ pour $x_2$ par exemple. Si par contre ils sont plus longs, vous devrez les entourer d'accolades pour dire que votre commande porte sur plusieurs caractères. Sinon, $\LaTeX$ considérera que seul le premier caractère suivant ^ est dans l'exposant. On écrira donc \$2^{2014}\$ pour obtenir $2^{2014}$.
Racines
Pour une racine carrée, il faut taper \$\sqrt{x}\$ (sqrt pour
square root) ce qui donnera $\sqrt{x}$. Vous pouvez spécifier une racine $n^{ème}$ à l'aide de crochets avant l'accolade. En voici un exemple : \$\sqrt[3]{x}\$ donnera $\sqrt[3]{x}$.
Fonctions
Les fonctions courantes se notent dans un environnement mathématique (entouré de \$) à l'aide d'un backslash suivi de leur nom raccourci habituel (\sin, \arcsin, \cos, \arccos, \tan, \arctan, \min, \max, \ln, \log, ... ) afin qu'elles soient écrites en lettres droites et pas en italique comme une variable. Par exemple, $\cos x$ s'écrit \$\cos x\$. Certaines fonctions ne sont cependant pas implémentées : dans ce cas on peut utiliser la commande \mathrm pour avoir des lettres droites. Par exemple, pour écrire $\mathrm{pgcd}(6,9)=3$, on tapera \$\mathrm{pgcd}(6,9)=3\$.
Sommes et produits
Pour écrire une somme ou un produit, on utilise \sum ou \prod en spécifiant en indice ce qui doit se trouver en dessous et en exposant ce qui doit se trouver au dessus. Par exemple, \$\$\sum_{i=1}^{10} x_i\$\$ donne
$$\sum_{i=1}^{10} x_i$$ et \$\$\prod_{1 \le i, j \le 5} (i+j)\$\$ donne $$\prod_{1 \le i, j \le 5} (i+j)$$ Entre simples dollars, on utilise souvent \displaystyle devant \sum et \prod pour que cela ne ressemble pas à $\sum_{i=1}^{10} x_i$ ou $\prod_{1 \le i, j \le 5} (i+j)$ (même si c'est également lisible).
Parenthèses, crochets, valeurs absolues, parties entières...
On peut simplement utiliser ( et ) pour des parenthèses, [ et ] pour des crochets, ainsi que | (deux fois) pour des valeurs absolues. (Note : la commande \mid affiche aussi une barre verticale comme | mais est utilisée lorsqu'on souhaite des espaces autour de la barre, par exemple pour écrire $3 \mid 6$ ($3$ divise $6$)). Pour les accolades, vu qu'elles ont une signification en $\LaTeX$, il faut les précéder d'un backslash en écrivant \{ et \}. On peut aussi utiliser \lfloor et \rfloor pour écrire $\lfloor x \rfloor$, ainsi que \lceil et \rceil pour $\lceil x \rceil$.
Pour toutes ces commandes, il est toutefois souhaitable que leur taille s'adapte à la taille de l'expression qu'elles encadrent. Pour cela, on fera précéder la commande de gauche par \left et celle de droite par \right. Par exemple, \$\$[(\sum_{i=1}^5 i^2) \cdot \lceil\frac 2 5\rceil^2]^3\$\$ donne $$[(\sum_{i=1}^5 i^2) \cdot \lceil\frac 2 5\rceil^2]^3$$ alors qu'en rajoutant des \left et \right, \$\$\left[\left(\sum_{i=1}^5 i^2\right) \cdot \left\lceil\frac 2 5\right\rceil^2\right]^3\$\$ donne $$\left[\left(\sum_{i=1}^5 i^2\right) \cdot \left\lceil\frac 2 5\right\rceil^2\right]^3$$ qui est clairement plus lisible.
Symboles
Inégalités
Pour une inégalité stricte $<$ ou $>$, on utilise directement < ou >. Pour les symboles plus complexes, il faut utiliser une commande :
- \le (ou \leq) ou \leqslant pour $\le$ ou $\leqslant$ (less or equal)
- \ge (ou \geq) ou \geqslant pour $\ge$ ou $\geqslant$ (greater or equal)
- \ne (ou \neq) pour $\ne$ (not equal)
Ensembles
Lorsqu'on manipule des ensembles, on a vite besoin de plusieurs symboles :
- \in pour $\in$
- \subset ou \subseteq pour $\subset$ ou $\subseteq$
- \cup ou cap pour $\cup$ ou $\cap$
- \setminus pour $\setminus$, utilisé pour la soustraction d'ensembles comme dans $A \setminus \{0, 1\}$
- \mathbb N (ou une autre lettre majuscule) pour $\mathbb N$ (ou $\mathbb R$ ou $\mathbb Z$ ou...)
- Les accolades \{ et \} et petits points \ldots sont nécessaires pour écrire $\{1, 2, \ldots, n\}$ : \$\{1, 2, \ldots, n\}\$. C'est parce que les accolades ont une signification particulière en $\LaTeX$ qu'un backslash doit être utilisé devant elles pour les voir apparaitre.
Pour barrer un symbole, on peut rajouter \not devant, par exemple \not\subset donne $\not\subset$ et \not\in donne $\not\in$. Pour ce dernier on peut aussi utiliser le raccourci \notin.
Flèches
Les symboles \iff (
if and only if) ou \implies peuvent être utilisés pour $\iff$ ou $\implies$, mais beaucoup de gens préfèrent des flèches plus courtes et utilisent \Leftrightarrow et \Rightarrow pour $\Leftrightarrow$ et $\Rightarrow$.
Il existe plein d'autres flèches (trouvables sur internet), mais on peut aussi citer \to et \mapsto que l'on utilise couramment pour écrire les deux flèches dans $$f : \mathbb N \to \mathbb N : x \mapsto x+1$$
Équations modulaires
Le symbole de congruence $\equiv$ utilisé avec les modulos s'écrit \equiv. En ce qui concerne la deuxième partie, pour indiquer le modulo, il y a plusieurs options : \mod, \pmod, \bmod, ... qui donnent des résultats légèrement différents. Sur Mathraining on utilise en général \pmod pour écrire, par exemple, $12 \equiv 2 \pmod{10}$ avec le code \$12 \equiv 2 \pmod{10}\$.
Angles
En géométrie, on désigne l'amplitude de l'angle $ABC$ par $\widehat{ABC}$ ou $\angle ABC$, avec \$\widehat{ABC}\$ où \$\angle ABC\$. On peut aussi écrire $\hat A$ avec \$\hat A\$ et $90^\circ$ avec \$90^\circ\$ ou \$90^°\$, plus joli que $90°$ (donné par \$90°\$).
On peut aussi utiliser des lettres grecques comme $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, simplement avec leur nom \alpha, \beta, \gamma. Comme vous l'aurez deviné, $\pi$ s'écrit \pi.
Numérotation d'équations
Il est parfois utile de numéroter une équation centrée pour y faire référence plus tard. Pour cela, on peut utiliser la commande \tag comme dans \$\$x = y+1 \tag 1\$\$ qui donne
$$x = y+1 \tag 1$$ Pour ne pas avoir de parenthèses (par exemple pour mettre autre chose soi-même), on peut utiliser \tag*. Par exemple, \$\$x = y+1 \tag*{[2]}\$\$ donne
$$x = y+1 \tag*{[2]}$$
Autres symboles
De façon générale, tous les symboles s'écrivent à l'aide d'une commande de la forme \commande. Vous pouvez facilement trouver sur internet des listes détaillées de tous ces symboles. Si vous désirez connaître le code relatif à une expression présente sur Mathraining, il vous suffit de cliquer droit dessus et de sélectionner "Show Math As > TeX Commands".
Entraînez-vous !
Vous pouvez vous entraîner à écrire quelques expressions en $\LaTeX$ grâce à l'outil de prévisualisation ci-dessous.
Un environnement $\LaTeX$ est de la forme $\text{\begin}${nom}{options} ... contenu ... \end{nom}. Nous allons voir quelques exemples d'environnements couramment utilisés. Ceux-ci sont implicitement en mode mathématique et il n'est donc pas nécessaire de les entourer de dollars, mais il est tout de même conseillé de le faire sur ce site, pour des raisons d'espacements avant et après.
Tableaux
Il pourra vous être utile de construire un tableau. Le plus simple pour comprendre la syntaxe à utiliser est d'observer un exemple. Le tableau
$$\begin{array}{|r|c|l|}
\hline
\text{Article} & \text{Disponibilité} & \text{Prix} \\
\hline
\text{Livre} & 2 & 15€ \\
\text{DVD} & 3 & 10€ \\
\hline
\end{array}$$ peut-être obtenu via le code suivant :
$$\begin{array}{|r|c|l|}
\hline
\text{Article} & \text{Disponibilité} & \text{Prix} \\
\hline
\text{Livre} & 2 & 15€ \\
\text{DVD} & 3 & 10€ \\
\hline
\end{array}$$
Expliquons celui-ci :
- Les options {|r|c|l|} indiquent quelle sera la forme des différentes colonnes. Il y aura autant de colonnes dans notre tableau que de lettres dans ces options. La lettre l indique une colonne dans laquelle le texte est aligné à gauche (l pour left), la lettre r indique un alignement à droite (r pour right) et la lettre c indique que le texte sera centré. De plus, chaque barre verticale | donne lieu à une ligne de séparation verticale.
- Chaque ligne du tableau prend ensuite la forme a & b & c \\. Le symbole & permet de passer à la colonne suivante dans une même ligne, alors que \\ indique la fin de la ligne.
- Tout comme il était possible de tracer des séparations verticales avec | dans les options, il est possible de tracer des séparations horizontales en écrivant simplement \hline (pour horizontal line) à l'endroit désiré.
Remarquons que \text{} est utilisé ici pour écrire du texte à l'intérieur de l'environnement.
Équations
Suite d'équations
Pour avoir une liste d'équations successives alignées autour des égalités, on peut utiliser l'environnement
eqnarray, qui fonctionne un peu comme
array. Il faut ici utiliser deux & par ligne, de part et d'autre du signe $=$. Le code
$$\begin{eqnarray}
y & = & x ^2 - 1 \\
2y & = & -x ^2 + x + 1
\end{eqnarray}$$
donne par exemple
$$\begin{eqnarray}
y & = & x ^2 - 1 \\
2y & = & -x ^2 + x + 1
\end{eqnarray}$$
Système d'équations
Pour écrire un système d'équations, on peut simplement ajouter une accolade à gauche des équations. Pour ce faire, on ajoute la commande \left\{ (vue précédemment) à gauche du système. Mais une commande précédée de \left doit toujours être accompagnée d'une commande précédée de \right. Vu qu'on ne veut pas d'accolade fermante à droite, on utilise la commande \right. qui n'affiche rien mais indique où le système se termine. On peut ainsi écrire
$$\left\{\begin{eqnarray}
y & = & x ^2 - 1 \\
2y & = & -x ^2 + x + 1
\end{eqnarray}\right.$$ à l'aide du code
$$\left\{\begin{eqnarray}
y & = & x ^2 - 1 \\
2y & = & -x ^2 + x + 1
\end{eqnarray}\right.$$
.
Cas
Pour distinguer différents cas, on peut utiliser l'environnement
cases. Par exemple, on peut écrire
$$|x| = \begin{cases}
x & \text{si $x \ge 0$} \\
-x & \text{si $x < 0$}
\end{cases}$$ grâce au code
$$|x| = \begin{cases}
x & \text{si $x \ge 0$} \\
-x & \text{si $x < 0$}
\end{cases}$$
À nouveau on a utilisé \text pour écrire du texte à l'intérieur de l'environnement, et de simples dollars à l'intérieur de ce même texte pour y incorporer des symboles.
Entraînez-vous !
Vous pouvez vous entraîner à écrire des tableaux, systèmes d'équations, etc. en $\LaTeX$ grâce à l'outil de prévisualisation ci-dessous. N'hésitez pas à copier-coller un code présent dans ce chapitre et à la modifier pour voir l'utilité de chaque expression.
Voir plus haut.
Afin de simplifier la vie des utilisateurs de Mathraining, certains raccourcis ont été implémentés. Ceux-ci ne fonctionneront donc que sur ce site : si vous voulez les utiliser dans un document à vous, alors vous devrez également déclarer les raccourcis (appelés "macros") dans votre document.
À ce jour, les raccourcis suivants peuvent être utilisés :
$$\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\textbf{Raccourci} & \textbf{Au lieu de} & \textbf{Qui donne} \\
\hline
\text{\pgcd} & \text{\operatorname{pgcd}} & \pgcd \\
\hline
\text{\ppcm} & \text{\operatorname{ppcm}} & \ppcm \\
\hline
\text{\arccot} & \text{\operatorname{arccot}} & \arccot \\
\hline
\text{\P} & \text{\mathbb P} & \P \\
\hline
\text{\N} & \text{\mathbb N} & \N \\
\hline
\text{\Z} & \text{\mathbb Z} & \Z \\
\hline
\text{\Q} & \text{\mathbb Q} & \Q \\
\hline
\text{\R} & \text{\mathbb R} & \R \\
\hline
\text{\C} & \text{\mathbb C} & \C \\
\hline
\text{\abs{X}} & \text{\left\lvert X \right\rvert} & \abs{X}\\
\hline
\text{\floor{X}} & \text{\left\lfloor X \right\rfloor} & \floor{X}\\
\hline
\text{\ceil{X}} & \text{\left\lceil X \right\rceil} & \ceil{X}\\
\hline
\text{\par{X}} & \text{\left( X \right)} & \par{X}\\
\hline
\text{\set{X}} & \text{\left\\\{ X \right\\\}} & \set{X}\\
\hline
\text{\norm{X}} & \text{\left\lVert X \right\rVert} & \norm{X}\\
\hline
\text{\La} & \text{\Leftarrow} & \La\\
\hline
\text{\Ra} & \text{\Rightarrow} & \Ra\\
\hline
\text{\Lra} & \text{\Leftrightarrow} & \Lra\\
\hline
\text{\wh{X}} & \text{\widehat{X}} & \wh{X}\\
\hline
\text{X\degree} & \text{X^\circ} & X\degree\\
\hline
\end{array}$$ Notez que les opérateurs \arcsin, \arccos, \arctan existent déjà par défaut pour $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$, contrairement à \arccot : c'est pourquoi nous l'avons rajouté.