Voici deux exemples d'applications du principe des tiroirs, illustrant le fait que l'on peut démontrer des résultats assez divers avec ce principe.
Solution
Considérons le partitionnement de cet ensemble en $6$ sous-ensembles $\{1,11\}$, $\{2,10\}$, $\{3,9\}$, $\{4,8\}$, $\{5,7\}$ et $\{6\}$. Ces six sous-ensembles seront nos "tiroirs". Nos sept "chaussettes" sont alors les sept nombres choisis entre $1$ et $11$. Par le principe des tiroirs, il existe deux de nos sept nombres qui appartiennent à un même sous-ensemble. Comme ces nombres sont distincts, et vu la définition de nos sous-ensembles, leur somme vaut obligatoirement $12$.
Solution
Considérons les deux intervalles $\left[0,\frac 12\right[$ et $\left[\frac 12,1\right[$ formant une partition de $[0,1[$. Ces deux intervalles seront nos "tiroirs", et les trois nombres réels considérés seront nos "chaussettes". Par le principe des tiroirs, l'un de ces intervalles contient au moins deux nombres. Leur différence, en valeur absolue, est strictement inférieure à $\frac 12$.