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Second degré

On peut étudier en toute généralité le signe d'un polynôme du second degré. Cette matière va sembler évidente à ceux qui l'ont déjà vue en secondaire, ce qui est normal.

Un polynôme du second degré est une expression de la forme $ax^2 + bx + c$ où $a,b$ et $c$ sont des constantes réelles. On demande aussi généralement que $a \neq 0$ puisque si $a = 0$, alors on a simplement l'expression $bx + c$ qui est bien plus simple à étudier.

Soient $a, b, c \in \mathbb{R}$ avec $a \neq 0$ et $P(x) = ax^2 + bx + c$.
  • Si $b^2 - 4ac < 0$, alors $P(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et ne s'annule jamais;
  • Si $b^2 - 4ac = 0$, alors $P(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et s'annule en $\frac{-b}{2a}$;
  • Si $b^2 - 4ac > 0$, alors $P(x)$ s'annule en deux points $x_1 < x_2$ qui sont appelés ses racines et il est du signe de $a$ pour $x \in \ \left]-\infty, x_1\right[\ \cup \ \left]x_2, +\infty\right[$ et du signe opposé pour tout $x \in \ ]x_1, x_2[$.
    Les racines $x_1$ et $x_2$ sont données (éventuellement dans l'ordre inverse lorsque $a < 0$) par
    $$\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \quad \text{et} \quad \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$

Au vu de la formule pour $x_1$ et $x_2$, on comprend mieux pourquoi il n'y a pas de racines réelles quand $b^2 - 4ac < 0$ et pourquoi il n'y a qu'une seule racine lorsque $b^2 - 4ac = 0$.

Prenons par exemple le polynôme $P(x) = x^2 - x - 2$. On a $b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(-2) = 9 > 0$ et on est donc dans ce cas dans la dernière configuration du résultat. On calcule aisément $x_1 = -1$ et $x_2 = 2$. Le polynôme est donc du même signe que $a$, c'est à dire positif, pour $x \leq x_1 = -1$ et pour $x \geq x_2 = 2$. Le graphe de cette fonction est le suivant :



Démonstration :
L'idée est d'isoler $x$ dans un carré parfait et de ne garder que des constantes à l'extérieur :
$$\begin{align*}
P(x) = ax^2 + bx + c & =
a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}\\
& =
a\left(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{4ac - b^2}{4a^2}\right).
\end{align*}$$ Pour que $P(x)$ soit du signe de $a$, il faut donc que
$$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 \geq \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}.$$ Le membre de gauche est positif car c'est un carré parfait. Le membre de gauche est du signe de $b^2 - 4ac$ car $4a^2 \geq 0$. Dès lors, si $b^2 - 4ac \leq 0$, l'inégalité est vraie pour tout $x$.

Sinon, les deux membres sont positifs. Comme la fonction $f: x \mapsto \sqrt{x}$ est strictement croissante pour $x \in \mathbb{R}^+$, notre inégalité est équivalente à
$$\left|x + \frac{b}{2a}\right| \geq
\frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2|a|}$$ ce qui est vrai lorsque $x \leq x_1$ ou $x \geq x_2$ où $x_1$ (respectivement $x_2$) est le plus petit (resp. le plus grand) des deux nombres
$$\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \quad \text{et} \quad \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$

Utilisation pratique

Lorsqu'on désire montrer une inégalité avec plusieurs variables, une bonne idée peut-être de n'en considérer qu'une seule comme étant une variable et de voir les autres comme des paramètres. Imaginons par exemple que l'on désire montrer l'inégalité
$$x^2+y^2+4x+4 \geq y(2x+4).$$ On peut ici penser à $x$ comme étant un simple paramètre, et l'inégalité n'est alors rien d'autre qu'une inégalité impliquant un polynôme du second degré en $y$ :
$$y^2 - (2x+4)y + x^4+4x+4 \geq 0$$ On calcule alors le discriminant $b^2-4ac$ : il vaut ici $(2x+4)^2 - 4(x^2+4x+4) = 0$, ce qui signifie que ce polynôme en $y$ est toujours du signe de $a$, c'est-à-dire positif comme voulu. Notre exemple n'était ici pas très compliqué (on peut en fait remarquer qu'il s'agit simplement de l'inégalité $(x-y+2)^2 \geq 0$), mais cette méthode peut fonctionner dans des cas plus complexes. Il faudra alors discuter les différents cas selon le signe du discriminant.