Théorie > Équations fonctionnelles

Introduction

Les équations fonctionnelles sont des équations portant sur des fonctions. Il s'agit d'un sujet assez distinct des autres branches des mathématiques et dans lequel la logique suffit à résoudre bon nombre de problèmes. Il existe peu de théorie et l'expérience suffit généralement amplement. Les méthodes classiques de résolution d'équations fonctionnelles sont ici détaillées, ainsi qu'un grand nombre de problèmes permettant de les explorer.

Chapitres

L'accès aux exercices d'un chapitre est autorisé à partir du moment où ses chapitres prérequis ont été complétés, c'est-à-dire quand tous les exercices de ceux-ci ont été résolus.

Introduction aux équations fonctionnelles

Dans les équations que l'on a l'habitude de résoudre, l'inconnue est un nombre réel (voire un entier ou un naturel). Le principe des équations fonctionnelles est, comme son nom l'indique, différent : les inconnues sont ici des fonctions. Nous expliquons en détails dans ce chapitre de quoi il s'agit, avant de donner la méthode fondamentale dans la résolution de ces équations : les substitutions.

Théorie

Exercices

Boîte à outils des équations fonctionnelles

Il n'existe pas de réelle théorie pure permettant de résoudre toutes les équations fonctionnelles. La connaissance de diverses approches est donc primordiale, c'est pourquoi nous présentons dans ce chapitre plusieurs méthodes et astuces pouvant se révéler utiles.

Pour pouvoir accéder aux exercices de ce chapitre et ainsi le compléter, vous devez d'abord compléter : Introduction aux équations fonctionnelles

Théorie

Exercices

Injectivité et surjectivité

L'injectivité et la surjectivité sont des propriétés des fonctions très intéressantes. Dans une équation fonctionnelle, réussir à montrer que les solutions sont forcément injectives ou surjectives est souvent un grand pas dans la résolution de l'équation. Il est en effet possible d'utiliser ces propriétés de manière très efficace dans la suite du raisonnement.

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Théorie

Exercices

Équation de Cauchy

Dans ce chapitre, nous nous intéressons à l'équation particulière $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Nous traitons, dans l'ordre, les cas où le domaine de $f$ est $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ et $\mathbb{R}$. Quel que soit le cas considéré, les fonctions $f(x)=ax$ où $a \in \mathbb{R}$ sont clairement des solutions, et nous montrons que ce sont les seules si le domaine est $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$ ou $\mathbb{Q}$. Avec des hypothèses supplémentaires sur $f$, ce sera en fait aussi le cas si le domaine est $\mathbb{R}$. Les méthodes que nous utilisons pour résoudre cette équation sont en fait assez générales et peuvent dès lors s'appliquer à d'autres équations.

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