Théorie > Équations fonctionnelles > Équation de Cauchy


Général

Introduction Chapitre entier

Points théoriques

Sur les naturels Sur les entiers Sur les rationnels Sur les réels En pratique

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4

Sur les entiers

Si le domaine de définition de $f$ est $\mathbb{Z}$, nous avons la même description des solutions.

Si $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{R}$ satisfait l'équation de Cauchy
$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$ pour tous $x,y \in \mathbb{Z}$,alors il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que $f(x)=ax$ pour tout $x \in \mathbb{Z}$.

Preuve :
Il suffit de prouver que $f(x)=f(1)\cdot x$ pour tout $x \in \mathbb{Z}$. Par la preuve précédente, on a déjà $f(x)=f(1)\cdot x$ pour tout $x \in \mathbb{N}$. Il reste donc à prouver que $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{Z}$ (en effet, dans ce cas, $f(x)=-f(-x)=-f(1)\cdot (-x)=f(1)\cdot x$ pour tout $x \in \mathbb{Z}^-$).
Pour ce faire, remplaçons $y$ par $-x$ dans l'équation. Nous obtenons alors
$$0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)$$ comme voulu.

Remarque :
De même que pour le cas précédent, si $f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ satisfait l'équation de Cauchy, nous pouvons dire que $f(x)=ax$ pour un certain $a \in \mathbb{Z}$.