Théorie > Géométrie > Quadrilatères cycliques


Général

Introduction Chapitre entier

Points théoriques

Premières propriétés Propriétés réciproques Théorème de Ptolémée

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4

Théorème de Ptolémée

Nous avons vu comment caractériser les quadrilatères cycliques par des relations entre différents angles. Le théorème de Ptolémée permet de donner une condition nécessaire et suffisante sur les longueurs des côtés et des diagonales d'un quadrilatère pour que celui-ci soit cyclique.

Un quadrilatère (non croisé) $ABCD$ est cyclique si et seulement si
$$|AC|\cdot |BD| = |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |AD|,$$ c'est-à-dire si le produit des longueurs de ses diagonales est égal à la somme des produits des longueurs des côtés opposés.

Nous ne donnons pas la démonstration du sens $\Leftarrow$, celle-ci étant un peu trop complexe pour ce cours.

Démonstration (du sens $\Rightarrow$) :
Considérons $ABCD$ un quadrilatère cyclique non-croisé. On note $K$ le point de $[AC]$ tel que $\widehat{ABK} = \widehat{DBC}$.
On a par angles inscrits que $\widehat{CAB} = \widehat{CDB}$, et les triangles $BKA$ et $BCD$ sont dès lors semblables.
Aussi, on a $\widehat{ACB} = \widehat{ADB}$, et puisque $\widehat{KBC} = \widehat{ABD}$ (au vu de notre choix de $K$), les triangles $CBK$ et $DBA$ sont à leur tour semblables.
On déduit de ces deux similitudes que
$$\frac{|KA|}{|BA|} = \frac{|CD|}{|BD|} \ \text{ et } \ \frac{|CK|}{|BC|} = \frac{|DA|}{|BD|},$$ ce qui se réécrit
$$|KA|\cdot|BD| = |CD|\cdot |BA| \ \text{ et } \ |CK| \cdot |BD| = |DA| \cdot |BC|.$$ Il ne reste alors plus qu'à sommer ces deux égalités pour obtenir, comme $|KA| + |CK| = |AC|$ :
$$|AC| \cdot |BD| = |CD| \cdot |BA| + |DA| \cdot |BC|.$$