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Lois des sinus et des cosinus
Loi des sinus
La loi des sinus est fondamentale. Dans celle-ci, il est important de retenir la dernière égalité, parfois oubliée par les élèves.Loi des sinus
Soit $ABC$ un triangle de côtés $a = |BC|$, $b = |AC|$ et $c = |AB|$. On a
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,$$ où $R$ désigne le rayon du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,$$ où $R$ désigne le rayon du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
Démonstration
On va simplement montrer que $\displaystyle \frac{a}{\sin A} = 2R$. On aura bien sûr les mêmes égalités avec $b$ et $c$.
On trace le cercle circonscrit à $ABC$ et note $D$ le point de ce cercle tel que $[BD]$ en soit un diamètre. On a alors $\widehat{BAC} = \widehat{BDC}$ (angles inscrits), et on en déduit que
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{|BC|}{\sin \widehat{BAC}} = \frac{|BC|}{\sin \widehat{BDC}} = |BD|,$$ où la dernière égalité vient du fait que le triangle $BCD$ est rectangle en $C$ (car il est inscrit dans un demi-cercle). Puisque $|BD| = 2R$, la démonstration est terminée.
On trace le cercle circonscrit à $ABC$ et note $D$ le point de ce cercle tel que $[BD]$ en soit un diamètre. On a alors $\widehat{BAC} = \widehat{BDC}$ (angles inscrits), et on en déduit que
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{|BC|}{\sin \widehat{BAC}} = \frac{|BC|}{\sin \widehat{BDC}} = |BD|,$$ où la dernière égalité vient du fait que le triangle $BCD$ est rectangle en $C$ (car il est inscrit dans un demi-cercle). Puisque $|BD| = 2R$, la démonstration est terminée.
Loi des cosinus
La loi des cosinus est aussi connue sous le nom de théorème de Pythagore généralisé, ou encore théorème d'Al-Kashi. Il s'agit en fait d'une généralisation du théorème de Pythagore aux triangles non nécessairement rectangles.Loi des cosinus
Soit $ABC$ un triangle de côtés $a = |BC|$, $b = |AC|$ et $c = |AB|$. On a
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.$$
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.$$
Nous donnons la démonstration dans le cas où $ABC$ est acutangle. Elle est totalement analogue lorsque le triangle est obtusangle, il faut juste discuter plusieurs cas.
Démonstration (cas acutangle)
On note $P$ le pied de la hauteur de $ABC$ issue de $A$, et $h = |AP|$, $d = |CP|$. On peut alors appliquer Pythagore au triangle $APB$ pour obtenir :
$$c^2 = h^2 + (a-d)^2 = h^2 + a^2 + d^2 - 2ad.$$ Or, on a aussi $h^2 +d^2 = b^2$ par Pythagore dans le triangle $APC$, d'où
$$c^2 = b^2 + a^2 - 2ad.$$ Il ne reste alors plus qu'à constater que $d = b \cos C$, ce qui nous donne finalement
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C.$$
$$c^2 = h^2 + (a-d)^2 = h^2 + a^2 + d^2 - 2ad.$$ Or, on a aussi $h^2 +d^2 = b^2$ par Pythagore dans le triangle $APC$, d'où
$$c^2 = b^2 + a^2 - 2ad.$$ Il ne reste alors plus qu'à constater que $d = b \cos C$, ce qui nous donne finalement
$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C.$$