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Somme et produit

En mathématique, il arrive vite un moment où l'on désire traiter plus d'une ou deux variables. Souvent, le nombre de variables lui-même est une variable (que l'on note généralement $n$). Quand tel est le cas, on ne les nomme alors plus $a,b,c,\ldots$, non seulement parce qu'il n'y a que $26$ lettres dans l'alphabet, mais aussi parce que cette notation n'est pas pratique si l'on désire parler du $i^{\mathrm{ème}}$ élément. A la place, on préfère utiliser une seule lettre à laquelle on associe des indices.
Si l'on est en présence de $3$ variables, on les appelle par exemple $a_1, a_2, a_3$. Lorsque le nombre de variables vaut $n$ (qui n'est pas connu), on peut les appeler $a_1, a_2, \ldots, a_n$. Les points de suspension ($\ldots$) sont ici utilisés car le reste des variables peut être complété avec bon sens.

Somme

Si on souhaite parler de la somme de ces $n$ éléments, une façon de faire est de réutiliser ces points de suspension :
$$a_1 + a_2 + \ldots + a_n$$ Lorsque les expressions se compliquent, il devient cependant parfois laborieux de procéder ainsi. Par exemple, la somme suivante est longue à écrire et peu agréable à lire.
$$\left(\frac{1+a_1}{\sqrt{1-a_1}}\right)^3 + \left(\frac{1+a_2}{\sqrt{1-a_2}}\right)^3 + \ldots + \left(\frac{1+a_n}{\sqrt{1-a_n}}\right)^3$$ C'est pourquoi le symbole $\sum$ (appelé signe somme) existe et permet d'écrire une telle somme de façon bien plus compacte. En utilisant ce symbole, la somme des variables $a_i$ s'écrit
$$\sum_{i = 1}^n a_i .$$ Cette notation a une signification simple mais il faut un peu de temps pour s'y habituer. Il y a trois parties importantes dans une expression contenant un signe somme :

  • En dessous du symbole $\sum$ est écrit une variable (ici $i$) et une valeur de départ (ici $1$),
  • Au dessus du symbole est écrit la valeur d'arrivée (ici $n$),
  • A droite du signe somme se situe une expression.

La variable indiquée en dessous du symbole ($i$) va prendre toutes les valeurs entières entre la valeur de départ et celle d'arrivée (incluses). L'expression à droite est évaluée pour chacune de ces valeurs et notre nouveau symbole $\sum$ signifie que l'on considère la somme de toutes ces expressions. Dans $\displaystyle\sum_{i = 1}^n a_i$, l'expression $a_i$ est évaluée pour $i$ allant de $1$ jusque $n$, et on désigne donc bien de cette façon la somme $a_1 + \ldots + a_n$. Notre somme plus compliquée, quant à elle, s'écrit à présent
$$\sum_{i = 1}^n \left(\frac{1+a_i}{\sqrt{1-a_i}}\right)^3.$$
Ici, $i$ a servi d'indice, mais cela n'est pas obligatoire. Par exemple, on peut écrire
$$\sum_{i = 3}^7 i = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 \quad \text{ou même} \quad \sum_{i= 1}^4 1 = 1+1+1+1.$$ La définition de $\sum$ semble un peu restrictive car elle ne permet que des pas de $1$, mais on peut facilement se débrouiller pour arriver à des expressions plus complexes comme
$$\sum_{k = 1}^4 2k = 2 + 4 + 6 + 8 \text{,}$$ $$\sum_{k = 0}^5 (-1)^{k} (2k+1) = 1 - 3 + 5 - 7 + 9 - 11.$$

Produit

De façon analogue, il existe aussi le signe produit $\prod$ qui désigne le produit des expressions plutôt que leur somme. Par exemple,
$$\prod_{k = 1}^4 (k + a_k) = (1 + a_1) (2 + a_2) (3 + a_3) (4 + a_4).$$ Ce symbole permet notamment de définir la factorielle d'un nombre comme étant
$$n! = \prod_{k = 1}^n k = 1\cdot2\cdot \ldots \cdot n.$$

Itération sur un ensemble

Il existe un variante où au lieu de donner une valeur de départ et d'arrivée à notre variable, on lui donne l'ensemble dans lequel elle varie. On écrit par exemple
$$\prod_{i = 3}^5 a_i = \prod_{i \in \{3,4,5\}}a_i = a_3\cdot a_4\cdot a_5.$$ (NB : On voit ici l'importance du fait que la somme et le produit soient commutatifs pour cette notation puisque l'ordre des éléments dans un ensemble n'a pas d'importance.)

Imbrication

Ces expressions peuvent bien entendu être imbriquées. On a par exemple
$$\sum_{i=1}^3 \prod_{j = 1}^i a_j = \prod_{j= 1}^1 a_j + \prod_{j=1}^2 a_j + \prod_{j= 1}^3 a_j = a_1 + a_1 a_2 + a_1 a_2 a_3.$$