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Ensembles

Un ensemble est une notion mathématique particulière qu'il n'est pas facile de définir rigoureusement. Pour l'usage que nous en ferons, nous pouvons nous contenter de dire qu'il s'agit d'une collection d'objets. Un ensemble sépare donc tous les objets en deux parties : ceux qui appartiennent à cet ensemble (alors appelés éléments de l'ensemble), et ceux qui n'y appartiennent pas.
Le fait que l'élément $a$ appartienne à l'ensemble $A$ s'écrit simplement $a \in A$.

Il existe deux façons de définir un ensemble particulier :
  • On peut le définir en extension, ce qui signifie que l'on donne directement la liste de ses éléments entre accolades. Par exemple $A = \left\{1, 2, 3\right\}$ signifie que $1, 2, 3 \in A$ et qu'aucun autre objet n'appartient à $A$.
  • On peut également le définir en compréhension, ce qui veut dire que l'on donne une propriété caractérisant les éléments de l'ensemble. Par exemple, on peut définir $B$ comme l'ensemble des entiers strictement positifs. On peut également définir $C$ comme l'ensemble des éléments de $B$ qui sont inférieurs ou égaux à $5$ en écrivant :
    $$C = \left\{ x \in B : x \leq 5 \right\}$$

Ordre et répétitions

La notation entre accolades peut donner l'impression que l'ordre dans lequel les éléments sont énoncés a de l'importance, ou aussi qu'un élément peut appartenir deux fois à l'ensemble. Cela n'est cependant pas vrai. L'ordre dans lequel on écrit les éléments n'importe pas, et écrire deux fois un même élément revient à ne l'écrire qu'une seule fois. On a donc par exemple :
$$\{1,2,3\} = \{2,3,1\} = \{1,1,3,2\}$$ Une bonne façon de retenir ce fait est de se rappeler que ce qui nous intéresse est de savoir si un élément appartient à l'ensemble ou non.

Notions courantes

  1. Un ensemble peut être soit fini, c'est-à-dire qu'il possède un nombre fini d'élément, soit infini.
    Si l'ensemble $A$ est fini, son nombre d'éléments est appelé cardinal et on le note $\#A$ ou $|A|$.

  2. On peut aussi définir la relation d'inclusion entre deux ensembles. Un ensemble est inclus dans un autre si tous les éléments appartenant au premier appartiennent également au second.
    L'inclusion de $A$ dans $B$ s'écrit $A \subseteq B$. On écrit aussi $A \subset B$ lorsque $A \subseteq B$ et que $A \neq B$. (NB : Cette dernière notation n'est pas utilisée par tous et il arrive que certains auteurs écrivent $A \subset B$ alors qu'ils signifient $A \subseteq B$. Cela-dit, cette confusion possible ne porte généralement pas à conséquence.)
    On a donc $\{1,3\} \subseteq \{1,3\}$ mais $\{1,3\} \not\subset \{1,3\}$. Aussi, $\{1,2\} \subseteq \{1,2,3\}$ mais $\{1,2\} \not\subseteq \{1,3\}$ car $2 \notin \{1,3\}$.

  3. L'union de deux ensembles $A$ et $B$, notée $A \cup B$, est l'ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ ou à $B$.
    Autrement dit, c'est le plus petit ensemble $C$ tel que $A \subseteq C$ et $B \subseteq C$.
    Par exemple, $\{1,2\} \cup \{1,3\} = \{1,2,3\}$.

  4. L'intersection de deux ensembles $A$ et $B$, notée $A \cap B$, est l'ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ et à $B$ à la fois.
    Autrement dit, c'est le plus grand ensemble $C$ tel que $C \subseteq A$ et $C \subseteq B$.
    Par exemple, $\{1,2\} \cap \{1,3\} = \{1\}$.

  5. La différence de deux ensembles $A$ et $B$, notée $A \setminus B$, est l'ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ mais n'appartiennent pas à $B$.
    Autrement dit, c'est le plus grand ensemble $C$ tel que $C \subseteq A$ et $C \cap B$ est vide.
    Par exemple, $\{1,2\} \setminus \{1,3\} = \{2\}$.

  6. Le complémentaire d'un ensemble $A$, noté $A^c$ ou parfois $\overline{A}$, est intuitivement l'ensemble des éléments qui n'appartiennent pas à $A$. Mais pour pouvoir définir ce concept rigoureusement, il faut tout d'abord se placer dans un ensemble plus gros $U$ (généralement fixé par le contexte) que l'on appelle univers. On dit alors qu'il s'agit de l'ensemble des éléments de $U$ n'appartenant pas à $A$.
    Par exemple, si $U = \{1,2,3\}$, $\{1,2\}^c = \{3\}$.