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Général

Introduction Chapitre entier

Points théoriques

Points particuliers Fonction de fonction Multigraphes

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5

Multigraphes

Il est maintenant temps d'ajouter un piège courant des équations fonctionnelles à notre liste du premier chapitre. Comme précédemment, il sera plus facile de le comprendre avec un exemple. Supposons qu'on obtienne l'équation $f(x)^2=1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Une erreur courante serait de dire :

"Donc $f(x)=1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ ou $f(x)=-1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Il y a donc seulement deux solutions possibles : vérifions-les."

Ceci est faux! En effet, en faisant cela, nous avons oublié une infinité de solutions potentielles : celles qui valent $1$ par endroits et $-1$ aux autres (ce qu'on pourrait appeler des "multigraphes"). De l'équation $f(x)^2=1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, nous pouvons donc seulement déduire : pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x)=1$ ou $f(x)=-1$.

Évidemment, la plupart du temps, ce genre de multigraphe ne sera tout de même pas une solution. Il faudrait alors pour conclure :

  1. Vérifier si $f(x)=1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et $f(x)=-1$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ sont des solutions.

  2. Prouver par l'absurde qu'il n'y a pas de solutions en multigraphes. Pour ce faire, on peut supposer qu'il existe $k \in \mathbb{R}$ tel que $f(k)=1$ et $k' \in \mathbb{R}$ tel que $f(k')=-1$ et tenter de trouver une contradiction.