Théorie > Combinatoire > Principe des tiroirs

Exemples d'application

Voici deux exemples d'applications du principe des tiroirs, illustrant le fait que l'on peut démontrer des résultats assez divers avec ce principe.

Exemple : Prouver que si $7$ nombres distincts sont choisis dans l'ensemble $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}$, alors il en existe deux dont la somme vaut $12$.

Considérons le partitionnement de cet ensemble en $6$ sous-ensembles $\{1,11\}$, $\{2,10\}$, $\{3,9\}$, $\{4,8\}$, $\{5,7\}$ et $\{6\}$. Par le principe des tiroirs, Il existe $2$ nombres qui appartiennent à un même sous-ensemble. Comme ces nombres sont distincts, leur somme vaut obligatoirement $12$.


Exemple : Prouver que si $3$ nombres réels sont dans l'intervalle $[0,1[$, alors il existe parmi eux deux nombres $a$ et $b$ tels que $|b-a|<\frac 12$.

Considérons les deux intervalles $\left[0,\frac 12\right[$ et $\left[\frac 12,1\right[$ formant une partition de $[0,1[$. Par le principe des tiroirs, l'un de ces intervalles contient au moins deux nombres. Leur différence, en valeur absolue, est strictement inférieure à $\frac 12$.