L'exercice suivant faisait initialement partie des exercices de ce chapitre, mais il a été retiré car jugé trop subjectif par la communauté. Nous vous conseillons toutefois de réfléchir à chaque proposition avant de lire les réponses qui étaient attendues.
Voici un problème de théorie des nombres et une solution à ce problème.
Solution
Si $p$ est impair, alors $p^2$ est aussi impair et $p^2+1$ est donc pair. Donc $p^2+1$ n'est pas premier (car $p \ne 1$). Donc $p$ est pair. Donc $p = 2$ car $p$ est premier.
Quels commentaires peut-on faire sur cette solution ?
- La solution est très courte et contient $4$ fois le mot "donc" : il serait préférable de varier les tournures de phrases pour rendre la solution plus agréable à lire.
- La solution contient $4$ phrases : il faudrait les séparer en $4$ paragraphes pour rendre la solution plus lisible.
- La justification "car $p \ne 1$" pour passer de $p^2+1$ pair à $p^2+1$ non premier est correcte mais fort raccourcie : ça vaudrait la peine de détailler ce passage.
- Le passage de $p^2+1$ non premier à $p$ pair mériterait d'être mieux expliqué car il faut se rappeler que l'énoncé demande $p^2+1$ premier et qu'on a supposé $p$ impair au début de la solution.
- En dehors de la rédaction qui n'est pas idéale, la solution montre bien que $p = 2$ est l'unique nombre vérifiant l'énoncé.
- La solution ne répond pas explicitement à la question de l'énoncé.
Les réponses attendues étaient les suivantes :
- Vrai. Même s'il n'est pas interdit d'utiliser "donc" à chaque phrase, cela rend la solution très monotone.
- Faux. Les paragraphes peuvent servir à mieux structurer sa solution. Un paragraphe est en général un groupe de plusieurs phrases qui forment ensemble une étape de la solution. Mettre une phrase par paragraphe n'améliorera pas du tout la compréhension.
- Vrai. Pour passer de $p^2+1$ pair à $p^2+1$ non premier, il faut remarquer que le seul nombre premier pair est $2$, que $p^2+1$ ne peut valoir $2$ que pour $p = 1$, et que $p$ ne peut pas valoir $1$ car il est supposé premier. Résumer tout cela en un simple "car $p \ne 1$" est assez violent, surtout pour un problème aussi simple. C'est sans doute très clair pour la personne ayant écrit cette solution, mais c'est beaucoup trop condensé pour le lecteur qui la découvre.
- Vrai. La solution enchaîne d'abord les implications directes, en ce sens que chaque affirmation implique directement la suivante. On a $p$ impair qui implique $p^2$ impair, puis $p^2$ impair qui implique $p^2+1$ pair, puis $p^2+1$ pair qui implique $p^2+1$ non premier. Lorsqu'on lit "Donc $p$ est pair" sans plus de justification, on pense naturellement qu'il s'agit à nouveau d'une implication directe, c'est-à-dire que cela vient directement de $p^2+1$ non premier. Or ce n'est pas le cas : ce "Donc" qui ressemble à tous les autres cache le fait que $p^2+1$ non premier rentre en contradiction avec l'énoncé et que notre hypothèse de départ ($p$ impair) était fausse ! La plupart des personnes lisant cette solution vont prendre du temps à comprendre ce passage : la personne ayant rédigé cette solution aurait du le rendre plus clair.
- Faux. Il manque une étape cruciale à la fin de cette solution : on a prouvé que si $p$ vérifie l'énoncé alors $p = 2$, mais on a aucunement regardé si $p = 2$ vérifie l'énoncé. C'est bien le cas car $2^2+1 = 5$ est premier, mais il fallait bien sûr le mentionner. (Note : Il s'agit ici d'une vraie erreur de raisonnement, et pas uniquement d'un problème de rédaction).
- Vrai. L'énoncé demande combien de nombres $p$ vérifient la propriété, donc il est important de répondre explicitement à la question en disant qu'il y a un seul tel nombre.
Voici une meilleure solution qui aurait pu être donnée à ce problème :
Solution (meilleure)
Supposons tout d'abord que $p$ est impair et vérifie l'énoncé. Dans ce cas, $p^2$ est aussi impair et $p^2+1$ est pair. Mais $p^2+1$ est supposé premier, et le seul nombre premier pair est $2$, d'où on déduit que $p^2+1 = 2$, c'est-à-dire $p = 1$. C'est impossible car $1$ n'est pas premier.
Supposons à présent que $p$ est pair et vérifie l'énoncé. Le seul nombre premier pair étant $2$, la seule option est $p = 2$. Vu que $2^2+1 = 5$ est premier, le nombre $p = 2$ vérifie bien l'énoncé.
Il y a donc un seul nombre premier $p$ tel que $p^2+1$ est premier : il s'agit de $p = 2$.