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Pièges à éviter

Voici une liste (non exhaustive) de choses à ne surtout pas faire quand on résout une équation fonctionnelle.

  1. Négliger les domaines de définition et d'arrivée des fonctions. Par exemple, les problèmes suivants sont complètement différents :

    1. Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$ telles que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ pour tous $x,y \in \mathbb{Q}$.

    2. Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que $f(x+y)=f(x)+f(y)$ pour tous $x,y \in \mathbb{R}$.

    Nous reviendrons à ces équations plus tard.

  2. Supposer que la fonction est un polynôme. En effet, sauf indication contraire, rien ne nous dit que $f(x)$ est de la forme $a_nx^n + \ldots + a_1x +a_0$. Il nous est donc impossible de parler du degré de $f$. Une solution possible pourrait être de la forme $f(x)=\sqrt[3]{x}$.

  3. Dériver $f$. S'il n'est pas explicitement écrit dans l'énoncé, comment peut-on dire que $f$ est dérivable? A priori, nous ne pouvons même pas dire que $f$ est continue! Cela n'a donc pas de sens de calculer $f'(x)$.

  4. Oublier de vérifier que les solutions que l'on obtient vérifient bien l'équation. En se servant des substitutions (ce que l'on fait à chaque fois), nous utilisons seulement une partie des informations données. Les solutions que l'on obtient n'ont donc aucune raison de satisfaire celles que l'on n'a pas utilisées. Revenons à notre exemple 2 :

    Trouver toutes les fonctions $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que $f(x+y)+f(x-y)=f(x)+x+y$ pour tous $x,y \in \mathbb{R}$.

    En substituant $y$ par $0$, on obtient
    $$f(x)+f(x)=f(x)+x$$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. La seule solution possible est donc $f(x)=x$. Vérifions-la :
    $$f(x+y)+f(x-y)=2x \ \text{ mais } \ f(x)+x+y = 2x+y \neq 2x \ \text{ pour } y \neq 0.$$ Il n'y a donc pas de solution à l'équation!

    Nous voyons ici toute l'importance de toujours vérifier toutes ses solutions. Si on oublie de le faire (même si la solution trouvée se révèle être correcte), on est systématiquement sanctionné de minimum $1$ point lors de concours. Évitable, non?