L'inégalité de réarrangement et l'inégalité de Tchebychev requièrent de l'information sur l'ordre des différentes variables pour être utilisées. En pratique, une telle information peut par exemple être donnée dans l'énoncé ou être supposée sans perte de généralité grâce à la symétrie de l'inégalité considérée.
Supposons être en présence de deux suites de nombres, comme par exemple $(1,2,3)$ et $(4,5,6)$. L'inégalité de réarrangement nous indique comment on peut coupler ces nombres deux par deux de sorte que la somme des produits soit la plus grande possible. Intuitivement pour notre exemple, la plus grande somme que l'on peut obtenir est $1\cdot4 + 2\cdot 5 + 3 \cdot 6 = 32$, et il suffit de tester les $6$ différentes possibilités pour s'apercevoir qu'il s'agit effectivement de la meilleure option.
L'inégalité de réarrangement dit que notre intuition est toujours la bonne. Elle mentionne également que pour obtenir la plus petite somme, il faut coupler les nombres en sens inverse (sur notre exemple, $1\cdot 6 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 4 = 28$).
Inégalité de réarrangement
Soient $x_1 \leq \ldots \leq x_n$ et $y_1 \leq \ldots \leq y_n$ des nombres réels. Pour toute permutation $\sigma$ de $\{1, \ldots, n\}$, on a
$$x_1 y_n + \ldots + x_n y_1 \leq x_1 y_{\sigma(1)} + \ldots + x_n y_{\sigma(n)}\leq x_1 y_1 + \ldots + x_n y_n.$$
La notation avec $\sigma$ ne doit pas perturber le lecteur : elle permet simplement de dire que l'on permute les $y_i$.
Démonstration
Pour démontrer que la plus grande somme est atteinte lorsque les suites sont dans le même ordre, on prouve que dans tous les autres cas la somme n'est pas maximale. Partons donc d'une somme où les suites ne sont pas dans le même ordre et montrons qu'on peut l'augmenter en changeant l'ordre. Considérons
$$x_1 y_1 + \ldots + x_n y_n$$ avec $x_1, \ldots, x_n$ et $y_1, \ldots, y_n$ qui ne sont pas dans le même ordre, c'est-à-dire avec $x_i < x_j$ mais $y_i > y_j$ pour certains $i, j$. On peut alors directement augmenter cette somme en inversant $y_i$ et $y_j$. En effet, on a
$$x_i y_i + x_j y_j \leq x_i y_j + x_j y_i$$ puisque cela peut se factoriser en
$$(x_i - x_j)(y_i-y_j) \leq 0$$ qui est toujours vrai comme $x_i < x_j$ et $y_i > y_j$. On vient donc de montrer que dans n'importe quel cas où les deux suites ne sont pas dans le même ordre, la somme n'est pas maximale. Cela prouve que le maximum est atteint lorsque les suites sont dans le même ordre.
De la même façon, on montre que le minimum est atteint lorsque les suites sont dans des ordres opposés.
L'inégalité de Tchebychev permet de comparer une "moyenne des produits" avec le "produit des moyennes".
Inégalité de Tchebychev
Soient $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$ et $b_1, \ldots, b_n \in \mathbb{R}$.
- Si $a_1 \leq \ldots \leq a_n$ et $b_1 \leq \ldots \leq b_n$, alors
$$\frac{a_1b_1+\ldots+a_n b_n}{n} \geq \left( \frac{a_1+\ldots+a_n}{n}\right) \cdot \left( \frac{b_1+\ldots+b_n}{n} \right),$$ ce qui s'écrit, à l'aide du signe somme,
$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_ib_i \geq \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i\right) \cdot \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n b_i\right).$$
- Si $a_1 \leq \ldots \leq a_n$ et $b_1 \geq \ldots \geq b_n$, alors on a au contraire
$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_ib_i \leq \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i\right) \cdot \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n b_i\right).$$
Démonstration
La démonstration consiste à utiliser l'inégalité de réarrangement à plusieurs reprises. Détaillons le cas où $a_1 \leq \ldots \leq a_n$ et $b_1 \leq \ldots \leq b_n$.
Par l'inégalité du réarrangement, on a les $n$ inégalités suivantes :
$$\begin{align}
a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n & \geq a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n\\[1mm]
a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n & \geq a_1b_2 + a_2b_3 + \ldots + a_nb_1\\[1mm]
a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n & \geq a_1b_3 + a_2b_4 + \ldots + a_nb_2\\
& \vdots \\[1mm]
a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n & \geq a_1b_n + a_2b_1 + \ldots + a_nb_{n-1}\\[1mm]
\end{align}$$ En additionnant ces inégalités, on obtient
$$n(a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n) \geq (a_1+\ldots +a_n)\cdot(b_1+\ldots+b_n),$$ et on arrive au résultat en divisant les deux membres par $n^2$.