L'inégalité de Hölder est l'inégalité suivante.
Inégalité de Hölder
Soient $p, q > 1$ des nombres réels tels que $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$. Pour tous $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}^+$ et $b_1, \ldots, b_n \in \mathbb{R}^+$, on a
$$a_1b_1 + \ldots + a_n b_n \leq \left(a_1^p + \ldots + a_n^p\right)^\frac{1}{p} \cdot \left(b_1^q + \ldots + b_n^q\right)^\frac{1}{q},$$ ce qui s'écrit, à l'aide des signes somme,
$$\sum_{i=1}^n a_ib_i \leq \left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{\frac{1}{p}}\cdot\left(\sum_{i=1}^nb_i^q\right)^{\frac{1}{q}}.$$ De plus, l'égalité a lieu si et seulement si $a_i = 0$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$ ou s'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $b_i^q = \lambda a_i^p$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$.
Pour $p = q = 2$ (qui conviennent puisque $\frac{1}{2}+\frac{1}{2} = 1$), on retrouve exactement l'inégalité de Cauchy-Schwarz (avec des variables positives).
Démonstration
Remarquons tout d'abord que l'inégalité de Hölder est homogène (que ce soit par rapport aux $a_i$ comme par rapport aux $b_i$). Cela nous permet donc d'effectuer certaines suppositions sur les variables. Nous allons en fait supposer que $$\sum_{i=1}^n a_i^p = 1 = \sum_{i=1}^n b_i^q.$$ Nous ne perdons ainsi aucune généralité puisque, si nous démontrons l'inégalité de Hölder sous cette condition, elle sera également vraie lorsque $\sum_{i=1}^n a_i^p = k$ et $\sum_{i=1}^n b_i^q = l$ pour certains $k, l \neq 0$. En effet, il suffit pour s'en convaincre d'effectuer le changement de variables $a'_i = \frac{a_i}{\sqrt[p]{k}}$ et $b'_i = \frac{b_i}{\sqrt[q]{l}}$. Les cas où $k$ ou $l$ est nul sont quant à eux triviaux puisqu'on a alors tous les $a_i$ ou tous les $b_i$ qui sont nuls.
On utilise à présent l'inégalité entre la moyenne géométrique et la moyenne arithmétique pondérées. Comme $\frac{1}{p}+\frac{1}{q} = 1$, celle-ci nous apprend que
$$u^{\frac{1}{p}} v^{\frac{1}{q}} \leq \frac{1}{p} u + \frac{1}{q} v$$ pour tous $u, v \in \mathbb{R}^+$. En prenant $u = a_i^p$ et $v = b_i^q$, on en déduit que
$$a_ib_i \leq \frac{a_i^p}{p} + \frac{b_i^q}{q},$$ et ce pour tout $i \in \{1, 2, \ldots, n\}$. Il suffit alors d'effectuer la somme sur $i$ pour obtenir
$$\sum_{i=1}^n a_ib_i \leq \frac{\sum_{i=1}^n a_i^p}{p} + \frac{\sum_{i=1}^n b_i^q}{q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.$$ Cela termine la preuve, puisque $$1 = \left(\sum_{i=1}^na_i^p\right)^{\frac{1}{p}}\cdot\left(\sum_{i=1}^nb_i^q\right)^{\frac{1}{q}}.$$ Enfin, l'égalité a lieu (dans notre cas restreint où $\sum_{i=1}^n a_i^p = 1 = \sum_{i=1}^n b_i^q$) quand $a_i^p = b_i^q$ pour tout $i$. On peut facilement vérifier que, en passant au cas général, l'égalité a en fait lieu lorsque les vecteurs $(a_1^p, \ldots, a_n^p)$ et $(b_1^q, \ldots, b_n^q)$ sont proportionnels, comme annoncé.
On peut en fait aussi écrire une version de l'inégalité de Hölder pour $0 < p < 1$ et $q < 0$. Dans ce cas (plus rare), l'inégalité est
inversée. Nous ne détaillons pas la démonstration de ce résultat.