Théorie > Inégalités > Boîte à outils des inégalités

Voici quelques changements de variables classiques qui peuvent se révéler utiles dans différentes situations. Il s'agit là de différentes possibilités mais elles ne fonctionnent bien sûr pas à tous les coups. Nous présentons simplement différentes méthodes qui sont connues pour parfois simplifier des inégalités.

1. Si on a deux variables $a, b \in \mathbb{R}$, on peut toujours poser
   $$\left\{\begin{align}
   a &= \alpha + \beta\\
   b &= \alpha - \beta
   \end{align}\right.$$ avec $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$. Il suffit en effet de prendre
   $$\left\{\begin{align}
   \alpha &= \frac{a+b}{2}\\[2mm]
   \beta &= \frac{a-b}{2}
   \end{align}\right.$$ Ce changement de variables permet parfois de se ramener à une inégalité plus simple ou plus parlante.
   


2. Si on a trois variables $a,b,c \in \mathbb{R}$ sous la contrainte $a+b+c = 0$, on peut être tenté de remplacer $c$ par $-a-b$ dans l'inégalité à prouver. Malheureusement, cela brise alors la symétrie éventuelle de l'inégalité ce qui la complique inévitablement. Une meilleure idée pour se débarrasser de la contrainte $a+b+c = 0$ est de poser
   $$\left\{\begin{align}
   a &= \beta - \gamma\\
   b &= \gamma - \alpha\\
   c &= \alpha - \beta
   \end{align}\right.$$ pour des $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$. On peut en fait même donner une valeur particulière à l'une des trois nouvelles variables (par exemple prendre $\alpha = 0$) mais cela brisera à nouveau la symétrie de l'inégalité que nous cherchons pourtant à préserver. Ce changement de variable est très utile puisqu'il permet de se débarrasser de la contrainte tout en préservant une certaine harmonie.
   
   Remarque : Ce changement de variable peut évidemment être également effectué avec $n$ variables $a_1, \ldots, a_n$ vérifiant $a_1+\ldots+a_n = 0$. On pose dans ce cas
   $$\left\{\begin{align}
   a_1 &= \alpha_1 - \alpha_2 \\
   a_2 &= \alpha_2 - \alpha_3 \\
   & \vdots \\
   a_n &= \alpha_n - \alpha_1
   \end{align}\right.$$


3. Si on a trois variables $a,b,c \in \mathbb{R}$ sous la contrainte $abc = 1$, alors le même problème que dans le point précédent se pose : on peut remplacer $c$ par $\frac{1}{ab}$ mais cela complique généralement l'inégalité. On préfère donc effectuer le changement de variables
   $$\left\{\begin{align}
   a & = \frac{\alpha}{\beta} \\[1mm]
   b &= \frac{\beta}{\gamma} \\[1mm]
   c &= \frac{\gamma}{\alpha}
   \end{align}\right.$$
   Remarque : A nouveau, si on a $n$ variables $a_1, \ldots, a_n$ vérifiant $a_1 a_2 \ldots a_n = 1$, alors on peut aussi appliquer le même type de changement de variables.
   


4. On peut aussi passer d'une contrainte de type $a+b+c = 0$ à une contrainte de type $\alpha\beta\gamma = 1$ en posant
   $$\left\{\begin{align}
   a &= \ln \alpha \\
   b &= \ln \beta \\
   c &= \ln \gamma
   \end{align}\right.$$ avec $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}_0^+$. Dans le sens contraire, on peut bien sûr poser
   $$\left\{\begin{align}
   \alpha &= e^a \\
   \beta &= e^b \\
   \gamma &= e^c
   \end{align}\right.$$


5. Si on est en présence d'une contrainte du type $a+b+c = 1$ plutôt que $a+b+c = 0$, on peut tout de même être tenté d'utiliser la transformation expliquée au point 2. Cela peut effectivement être fait en posant au préalable $a = \frac 13 + a'$, $b = \frac 13 + b'$, $c = \frac 13 + c'$ de sorte que $a'+b'+c'=0$.
   


6. Si on a une suite croissante $a_0 \leq a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n$, on peut poser la suite de réels positifs $b_1, \ldots, b_n$ tels que $b_k = a_k - a_{k-1}$. S'il est mentionné que les $a_k$ sont positifs (c'est à dire que $a_0$ est positif) ou qu'on montre que l'inégalité est vérifiée dans le cas contraire, on peut poser $b_0 = a_0$ qui est alors positif également.