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Centre radical
Si maintenant nous ne sommes plus en présence d'un ou deux cercles, mais bien trois, alors on peut mettre en évidence un point particulier appelé centre radical des trois cercles.
Proposition (définition du centre radical)
Soient $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$ et $\mathcal{C}''$ trois cercles de centres non alignés. Les axes radicaux de ces trois cercles pris deux à deux sont concourants : ils se rencontrent en un unique point appelé centre radical de $\mathcal{C}$, $\mathcal{C}'$ et $\mathcal{C}''$.
Démonstration
Considérons $d_1$ l'axe radical de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$, et $d_2$ l'axe radical de $\mathcal{C}'$ et $\mathcal{C}''$. Les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles puisque les centres des trois cercles ne sont pas alignés. Elles se rencontrent dès lors en un point que l'on note $X$. Il suffit de montrer que $X$ se situe sur l'axe radical de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}''$. Cela est en fait évident, puisqu'on a
$$P_\mathcal{C}(X) = P_{\mathcal{C}'}(X) = P_{\mathcal{C}''}(X).$$
$$P_\mathcal{C}(X) = P_{\mathcal{C}'}(X) = P_{\mathcal{C}''}(X).$$
Quadrilatère cyclique
Il est également possible de raisonner dans un sens plutôt contraire. À partir d'un point sur l'axe radical de deux cercles, on peut tracer deux droites intersectant chacune un des cercles en deux points. Les quatre points ainsi obtenus sont alors sur un même cercle, comme l'indique le résultat suivant.Propriété
Soient $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ deux cercles, et $X$ un point sur l'axe radical de ces deux cercles. Soit $d$ une droite passant par $X$ coupant $\mathcal{C}$ en deux points distincts $A$ et $B$ et $d'$ une droite passant par $X$ coupant $\mathcal{C}'$ en deux points distincts $A'$ et $B'$. Alors le quadrilatère $ABB'A'$ est cyclique.
Démonstration
Vu que $X$ est sur l'axe radical de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$, sa puissance est la même par rapport à ces deux cercles. On a donc
$$|XA|\cdot |XB| = |XA'|\cdot |XB'|.$$ Ecrit autrement, on a
$$\frac{|XA|}{|XA'|} = \frac{|XB'|}{|XB|}.$$ Cela signifie que les triangles $XAA'$ et $XB'B$ sont semblables. En particulier, on a $\widehat{XAA'} = \widehat{XB'B}$, et donc $\widehat{BAA'} + \widehat{BB'A'} = 180^\circ$, ce qui prouve que le quadrilatère $ABB'A'$ est cyclique.
Bien sûr, le point $X$ est alors le centre radical des trois cercles tracés sur la figure.
$$|XA|\cdot |XB| = |XA'|\cdot |XB'|.$$ Ecrit autrement, on a
$$\frac{|XA|}{|XA'|} = \frac{|XB'|}{|XB|}.$$ Cela signifie que les triangles $XAA'$ et $XB'B$ sont semblables. En particulier, on a $\widehat{XAA'} = \widehat{XB'B}$, et donc $\widehat{BAA'} + \widehat{BB'A'} = 180^\circ$, ce qui prouve que le quadrilatère $ABB'A'$ est cyclique.
Bien sûr, le point $X$ est alors le centre radical des trois cercles tracés sur la figure.