Théorie > Géométrie > Puissances de points
Axe radical
La notion d'axe radical de deux cercles est directement liée à celle de puissance de point :
Nous nous intéressons uniquement à des cercles de centres distincts. En effet, si au contraire $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C'}$ avaient le même centre, alors soit les deux cercles seraient identiques auquel cas tous les points auraient bien sûr la même puissance par rapport à chaque cercle, soit les deux cercles seraient distincts et aucun point n'aurait la même puissance par rapport à $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$. Ces cas sont donc dégénérés et par conséquent peu intéressants.
Comme l'affirme la proposition suivante (que nous ne démontrons pas), l'axe radical de deux cercles prend en fait toujours la forme d'une droite.
La partie non évidente de ce résultat est que l'axe radical prend la forme d'une droite. Par contre, celle-ci doit bien sûr être perpendiculaire à la droite passant par les deux centres, par symétrie de la situation. Aussi, on comprend facilement pourquoi, lorsque $X$ est un point commun à $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$, $X$ appartient à l'axe radical de ceux-ci. En effet, on a alors $P_\mathcal{C}(X) = 0 = P_{\mathcal{C}'}(X)$.
Il est donc facile, lorsque l'on est en présence de deux cercles ayant un ou deux points communs, de tracer leur axe radical. Par contre, lorsque les deux cercles sont disjoints, on sait juste qu'il s'agit d'une droite perpendiculaire à la droite passant par les deux centres.
Définition (axe radical)
L'axe radical de deux cercles $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ de centres distincts est le lieu des points dont la puissance par rapport à $\mathcal{C}$ est égale à celle par rapport à $\mathcal{C'}$, c'est-à-dire
$$\left\{X \ \mid \ P_\mathcal{C}(X) = P_{\mathcal{C}'}(X)\right\}.$$
$$\left\{X \ \mid \ P_\mathcal{C}(X) = P_{\mathcal{C}'}(X)\right\}.$$
Nous nous intéressons uniquement à des cercles de centres distincts. En effet, si au contraire $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C'}$ avaient le même centre, alors soit les deux cercles seraient identiques auquel cas tous les points auraient bien sûr la même puissance par rapport à chaque cercle, soit les deux cercles seraient distincts et aucun point n'aurait la même puissance par rapport à $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$. Ces cas sont donc dégénérés et par conséquent peu intéressants.
Comme l'affirme la proposition suivante (que nous ne démontrons pas), l'axe radical de deux cercles prend en fait toujours la forme d'une droite.
Proposition
Soient $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ deux cercles de centres distincts. L'axe radical de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C'}$ est une droite perpendiculaire à la droite passant par les centres de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$. De plus,
- si les cercles se rencontrent en deux points distincts $P$ et $Q$, alors l'axe radical est exactement la droite $PQ$.
- si les cercles sont tangents en un point $A$, alors l'axe radical passe par $A$.
La partie non évidente de ce résultat est que l'axe radical prend la forme d'une droite. Par contre, celle-ci doit bien sûr être perpendiculaire à la droite passant par les deux centres, par symétrie de la situation. Aussi, on comprend facilement pourquoi, lorsque $X$ est un point commun à $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$, $X$ appartient à l'axe radical de ceux-ci. En effet, on a alors $P_\mathcal{C}(X) = 0 = P_{\mathcal{C}'}(X)$.
Il est donc facile, lorsque l'on est en présence de deux cercles ayant un ou deux points communs, de tracer leur axe radical. Par contre, lorsque les deux cercles sont disjoints, on sait juste qu'il s'agit d'une droite perpendiculaire à la droite passant par les deux centres.
Tangentes communes
Il est tout de même possible, lorsque deux cercles sont disjoints mais extérieurs, de tracer leur axe radical à l'aide du résultat suivant (qu'il ne faut pas perdre de vue puisqu'il intervient parfois dans la résolution de problèmes).Propriété
Soient $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ des cercles de centres distincts. Pour toute droite $AA'$ tangente à $\mathcal{C}$ en $A$ et à $\mathcal{C}'$ en $A'$, l'axe radical des deux cercles coupe le segment $[AA']$ en son milieu.
Démonstration
Ce résultat est en fait presque évident. En effet, si $X$ dénote le point d'intersection de l'axe radical avec $AA'$, on sait par une formule précédemment donnée que la puissance de $X$ par rapport à $\mathcal{C}$ est égale à $|XA|^2$ et que la puissance de $X$ par rapport à $\mathcal{C}'$ est égale à $|XA'|^2$. Or, puisque $X$ est sur l'axe radical des deux cercles, les deux puissances doivent être égales et on a $|XA| = |XA'|$.