Définition
Notion de modulo
Les nombres $a$ et $b$ peuvent ici être négatifs, on a par exemple $8 \equiv -2 \pmod 5$ puisque $8-(-2)= 10$ est divisible par $5$.
Utilisation
La façon la plus courante d'utiliser les modulos est de se fixer un certain naturel non nul $n$, et de se mettre à travailler "modulo $n$". On se met alors à voir le signe $\equiv$ comme une simple égalité, c'est-à-dire qu'on ne différencie plus deux nombres qui possèdent le même reste après division par $n$ : ils sont égaux modulo $n$. Notons tout de même que cela a bien un sens de le considérer comme une égalité puisque $x \equiv x$ et, si $a \equiv b$ et $b \equiv c$, alors $a \equiv c$.
Par exemple, pour $n = 3$, on a
$$\begin{align}
\dots \equiv -9 \equiv -6 \equiv -3 &\equiv 0 \equiv 3 \equiv 6 \equiv 9 \equiv \dots \\
\dots \equiv -8 \equiv -5 \equiv -2 &\equiv 1 \equiv 4 \equiv 7 \equiv 10 \equiv \dots \\
\dots \equiv -7 \equiv -4 \equiv -1 &\equiv 2 \equiv 5 \equiv 8 \equiv 11 \equiv \dots
\end{align}$$ Ainsi, lorsqu'on travaille modulo $3$, il n'y a en fait plus que $3$ nombres distincts : $0$, $1$ et $2$. Tous les autres nombres entiers sont égaux à l'un de ces trois nombres.
C'est pour cette raison qu'il est parfois utile de se fixer un certain $n$ et de se mettre à travailler modulo $n$. Il est en effet plus simple de n'avoir plus que $n$ nombres à manipuler plutôt qu'une infinité !
Remarque : $n$ peut théoriquement être égal à $1$, mais on ne prend en pratique que des $n$ supérieurs ou égaux à $2$. Cela n'a en fait aucun intérêt de travailler modulo $1$, puisque tous les nombres entiers sont alors considérés égaux.