Parfois, au lieu de calculer le sinus ou le cosinus d'un angle, on aimerait faire le calcul inverse. On peut en effet être en présence d'un angle dont on ne connait pas l'amplitude mais dont on est parvenu à calculer le sinus (par exemple à partir de la longueur des côtés d'un triangle rectangle). C'est l'intérêt des
fonctions trigonométriques inverses : elles associent à un nombre réel l'amplitude d'un angle dont le nombre est le sinus (ou le cosinus ou la tangente).
Le lecteur n'est cependant pas sans savoir qu'il existe plusieurs angles différents ayant le même sinus (ou cosinus ou tangente). Les fonctions trigonométriques inverses devront donc "faire un choix" parmi tous les angles pouvant convenir. Pour chacune, on choisira en fait l'amplitude de l'angle le plus petit possible en valeur absolue. C'est de cette façon que l'on définit les fonctions arc sinus, arc cosinus et arc tangente, inverses du sinus, du cosinus et de la tangente respectivement.
- La fonction $\displaystyle\arcsin : [-1, 1] \to \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ envoie un réel $x$ compris entre $-1$ et $1$ (inclus) sur l'amplitude mesurée en radian d'un angle dont le sinus vaut $x$. Il existe plusieurs telles amplitudes, mais elle renvoie en fait toujours l'amplitude dans l'intervalle $\displaystyle\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.
- La fonction $\displaystyle\arccos : [-1, 1] \to \left[0, \pi\right]$ envoie un réel $x$ compris entre $-1$ et $1$ (inclus) sur l'amplitude mesurée en radian d'un angle dont le cosinus vaut $x$. Cette fois-ci, la fonction arc cosinus renvoie l'amplitude dans l'intervalle $\displaystyle\left[0, \pi\right]$ qui convient.
- La fonction $\displaystyle\arctan : \mathbb{R} \to \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$ envoie un réel $x$ sur l'amplitude mesurée en radian d'un angle dont la tangente vaut $x$. Le codomaine de la fonction arc tangente est dans ce cas $\displaystyle\left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[$.
Nous n'utiliserons ces fonctions que rarement sur ce site car elles ont peu d'applications en olympiades. Il faut cependant bien retenir que ces trois fonctions effectuent un choix parmi les angles possibles, ce qui signifie par exemple que l'égalité $\arccos (\cos \theta) = \theta$ n'est vérifiée que pour $\displaystyle\theta \in [0,\pi]$.