Un autre exemple d'équation diophantienne est l'équation
$$x^2 + y^2 = z^2,$$ d'inconnues $x, y, z \in \mathbb{N}_0$.
Exemples : Les triplets $(3,4,5)$ $(6,8,10)$, ou encore $(5,12,13)$ sont pythagoriciens.
Encore une fois, alors que cette équation semble toute simple, nous allons voir que sa résolution l'est bien moins. On peut tout de même déjà remarquer que si $(x, y, z)$ est un triplet pythagoricien, alors il en est de même de $(kx, ky, kz)$ pour $k \in \mathbb{N}_0$. Réciproquement, si $(x, y, z)$ est un triplet pythagoricien tel que $\mathrm{pgcd}(x, y, z) = d > 1$, alors $(\frac xd, \frac yd, \frac zd)$ est aussi un triplet pythagoricien avec $\mathrm{pgcd}(\frac xd, \frac yd, \frac zd) = 1$. C'est pourquoi, pour trouver tous les triplets pythagoriciens, il suffit de trouver ceux tels que $x$, $y$ et $z$ sont premiers entre eux. On parle alors de triplet pythagoricien
primitif, et nous allons maintenant nous intéresser à ces triplets particuliers.
Exemples : les triplets $(3,4,5)$ et $(5,12,13)$ sont primitifs, mais le triplet $(6,8,10)$ ne l'est pas car $\mathrm{pgcd}(6,8,10) = 2$.
Un premier résultat quasi immédiat les concernant est le suivant.
Lemme
Si $(x, y, z)$ est un triplet pythagoricien primitif, alors $x$ et $y$ sont de parités différentes et $z$ est impair.
Démonstration
Considérons $(x, y, z)$ un triplet pythagoricien primitif. On sait déjà que $x$ et $y$ ne sont pas tous les deux pairs, car $z$ le serait alors également et le triplet ne serait pas primitif. D'autre part, les nombres $x$ et $y$ ne peuvent pas être tous les deux impairs. En effet, si tel était le cas, on aurait $x \equiv y \equiv 1 \pmod 2$ et par suite $x^2 \equiv y^2 \equiv 1 \pmod 4$ (un carré n'étant jamais congru à $3$ modulo $4$). On aurait donc
$$z^2 \equiv x^2 + y^2 \equiv 2 \pmod 4,$$ ce qui est impossible puisque tout carré parfait pair (comme $z^2$) est multiple de $4$.
On en déduit que $x$ et $y$ sont forcément de parités différentes, et par suite que $z$ est impair.
Voici à présent la caractérisation des triplets pythagoriciens primitifs.
Théorème (triplets pythagoriciens primitifs)
Les triplets pythagoriciens primitifs $(x,y,z)$ avec $x$ impair (et $y$ pair) sont exactement donnés par
$$(p^2-q^2, \ 2pq, \ p^2+q^2)$$ où $p$ et $q$ sont des nombres premiers entre eux, de parités différentes et tels que $p > q$.
Démonstration
On voit directement que les triplets $(p^2-q^2, 2pq, p^2+q^2)$ avec $p > q$ premiers entre eux et de parités différentes sont des triplets pythagoriciens primitifs (avec $p^2-q^2$ impair). En effet, on a
$$(p^2-q^2)^2 + (2pq)^2 = p ^4 + q^4 - 2p^2 q^2 + 4p^2 q^2 = (p^2+q^2)^2$$ et les nombres $p^2-q^2$ et $p^2+q^2$ sont bien premiers entre eux (sinon, $p$ et $q$ ne seraient pas premiers entre eux).
La difficulté est donc de prouver le résultat réciproque, c'est-à-dire que tous les triplets pythagoriciens primitifs sont de cette forme. Pour ce faire, supposons que $(x,y,z)$ soit un triplet pythagoricien primitif avec $x$ impair et $y$ pair. On peut alors écrire $y = 2a$ et on a
$$y^2 = 4a^2 = z^2 - x^2 = (z-x)(z+x).$$ Comme $x$ et $z$ sont impairs, $z-x$ et $z+x$ sont pairs et on peut poser $z+x = 2b$ et $z-x = 2c$. On a alors
$$a^2 = bc.$$ Or, $b$ et $c$ sont premiers entre eux, car s'ils étaient divisibles par un même $k > 1$, ce nombre $k$ diviserait également $x$, $y$ et $z$ (contredisant le fait que notre triplet est primitif). On en déduit que $b$ et $c$ doivent tous les deux être des carrés parfaits, d'où on peut poser $b = p^2$ et $c = q^2$ et on a alors
$$\left\{\begin{align}
z & = b+c = p^2+q^2\\
x &= b-c = p^2 - q^2\\
y &= 2a = 2\sqrt{bc} = 2pq
\end{align}\right.$$ De plus, les nombres $p$ et $q$ sont bien premiers entre eux car le contraire impliquerait clairement que $\mathrm{pgcd}(x,y,z) > 1$.
Pour $(p, q) = (2,1)$ et $(p, q) = (3,2)$, on retrouve les triplets bien connus $(3,4,5)$ et $(5,12,13)$.