Théorie > Géométrie > Transformations du plan

Une transformation du plan est, comme son nom l'indique, une transformation particulière que l'on peut appliquer aux objets dans le plan. Il existe plusieurs types de transformations du plan, et nous nous penchons d'abord sur les plus connues : les rotations, translations et symétries orthogonales. Dans cette section, tous les angles seront orientés.

Rotations

Étant donné un point $O$ du plan et un angle $\alpha \in [0, 2\pi[$ (en radians), on peut considérer la rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$. Intuitivement, il s'agit de faire tourner le plan autour de $O$, d'un angle $\alpha$. Plus précisément et par définition, l'image d'un point $P$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$ est l'unique point $P'$ tel que $|OP'| = |OP|$ et $\widehat{POP'} = \alpha$ (en angles orientés, de sorte qu'il n'y ait qu'un seul tel point et non deux).

Sur la figure suivante, $P'$ et $Q'$ sont les images respectives de $P$ et $Q$ par rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha = 45^\circ$. Pour trouver $P'$ et $Q'$, on voit qu'il suffit de faire tourner $P$ et $Q$ autour de $O$ avec un angle de $45^\circ$.


Les rotations ont une propriété fondamentale : ce sont des isométries.


Il existe un type de rotation particulier : les symétries centrales. Étant donné un point $O$, la symétrie centrale de centre $O$ est un autre nom pour la rotation de centre $O$ et d'angle $\pi$ (c'est-à-dire $180^\circ$). La symétrie centrale est plus facile à définir : l'image du point $P$ par la symétrie centrale de centre $O$ est juste le point $P'$ tel que $O$ soit le milieu de $[PP']$. Le point $P'$ est alors le symétrique de $P$ par rapport à $O$.

Translations

Étant donnés deux points $X$ et $Y$ du plan, on peut considérer la translation appliquant $X$ sur $Y$. Intuitivement, il s'agit de faire glisser le plan de sorte à ce que $X$ devienne $Y$. Plus précisément, l'image d'un point $P$ par la translation appliquant $X$ sur $Y$ est l'unique point $P'$ tel que $\vec{PP'} = \vec{XY}$. Pour ceux ne connaissant pas la notion de vecteurs, cela signifie simplement que la flèche reliant $P$ à $P'$ doit être exactement la même (c'est-à-dire de même longueur, direction et sens) que celle reliant $X$ à $Y$.

Sur la figure suivante, $P'$ et $Q'$ sont les images respectives de $P$ et $Q$ par la translation appliquant $X$ sur $Y$.

Symétries orthogonales

Étant donnée une droite $d$ du plan, on peut considérer la symétrie orthogonale d'axe $d$. Intuitivement, on peut penser à $d$ comme à un miroir. Par définition, l'image d'un point $P$ par la symétrie orthogonale d'axe $d$ est l'unique point $P'$ tel que $PP'$ est perpendiculaire à $d$ et le milieu de $[PP']$ se trouve sur $d$. On dit que $P'$ est le symétrique de $P$ par rapport à l'axe $d$.

Sur la figure suivante, $P'$ et $Q'$ sont les images respectives de $P$ et $Q$ par la symétrie orthogonale d'axe $d$.

Propriétés

Les rotations, translations et symétries orthogonales partagent un grand nombre de propriétés, du fait que ce sont des isométries.


Certaines isométries ont des propriétés supplémentaires, qui découlent généralement de leur définition. On a par exemple que l'image d'une droite par une translation ou par une symétrie centrale est une droite qui lui est parallèle.

Classification des isométries

Comme vu plus haut, les rotations, translations et symétries orthogonales sont des isométries. En fait, il s'agit des seules isométries du plan (à une petite exception près) !