Concours > Concours #17

Description

Il existe seulement dix-sept types de pavages périodiques du plan ! Eh oui, ce Concours de la Canicule sera principalement axé sur la combinatoire. Mais par souci d'égalité et d'ouverture aux autres notions, nous avons mélangé des notions de combinatoire à d'autres domaines.

Il y aura dix problèmes : leur difficulté sera croissante, et vous aurez 48 heures pour résoudre chacun d'eux. Un nouveau problème deviendra disponible chaque matin.

Nous espérons que ce concours pourra vous amuser pendant ces vacances d'été, et que vous apprécierez les problèmes proposés !

Bonne chance :-)

Organisateurs du concours : ¹⁰Antoine Derimay, ⁴Quentin Langé et ³Aurélien Perdriaud.

Problème #1

Solutions acceptées du lundi 1 août 2022 à 8h00 au mercredi 3 août 2022 à 8h00 (heures belges).

Énoncé

Trouver le plus petit entier

$n \geq 3$ tel que tout ensemble de

$n$ nombres entiers distincts possède trois éléments distincts dont la somme est divisible par

$3$ .

Statistiques

Tenté par 219 personnes
Scores parfaits : 198

Problème #2

Solutions acceptées du mardi 2 août 2022 à 8h00 au jeudi 4 août 2022 à 8h00 (heures belges).

Énoncé

Supposons que chaque point du plan est colorié en jaune, vert, rouge ou bleu. Montrer qu'il y a deux points de la même couleur à une distance de

$\sqrt{3}$ ou de

$3$ l'un de l'autre.

Statistiques

Tenté par 122 personnes
Scores parfaits : 80

Origine du problème : Olympiade Australienne de Mathématiques, 2016, Jour 2, Problème 7

Problème #3

Solutions acceptées du mercredi 3 août 2022 à 8h00 au vendredi 5 août 2022 à 8h00 (heures belges).

Énoncé

Chaque diagonale d'un polygone régulier à

$2022$ côtés a été coloriée avec une couleur, de sorte que deux diagonales qui se croisent n'ont jamais la même couleur. Combien de couleurs ont été utilisées, au minimum, pour colorier toutes les diagonales ?

Remarque : Les côtés du

$2022$ -gone ne sont pas considérés comme des diagonales. De plus, deux diagonales qui se touchent en un sommet du polygone ne se croisent pas.

Statistiques

Tenté par 137 personnes
Scores parfaits : 85

Origine du problème : Olympiade Anglaise de Mathématiques, 2014, Round 2

Problème #4

Solutions acceptées du jeudi 4 août 2022 à 8h00 au samedi 6 août 2022 à 8h00 (heures belges).

Énoncé

Montrer qu'un ensemble

$E$ est infini si et seulement si pour toute fonction

$f : E \to E$ , il existe

$A \subsetneq E$ avec

$A \neq \varnothing$ tel que

$f(A) \subseteq A$ .

Remarque :

$f(A)$ , appelée image directe de

$A$ par

$f$ , désigne l'ensemble

$\{f(x) \mid x \in A\}$

Statistiques

Tenté par 131 personnes
Scores parfaits : 94

Origine du problème : Oral Polytechnique

Problème #5

Solutions acceptées du vendredi 5 août 2022 à 8h00 au dimanche 7 août 2022 à 8h00 (heures belges).

Énoncé

On considère

$N \ge 3$ points distincts dans le plan. Parmi les distances séparant les points deux à deux, on dénombre exactement

$n$ distances différentes. Montrer que

$N \le (n+1)^2$ .

Statistiques

Tenté par 99 personnes
Scores parfaits : 34

Origine du problème : Olympiade Russe de Mathématiques, 2004

Problème #6

Solutions acceptées du samedi 6 août 2022 à 8h00 au lundi 8 août 2022 à 8h00 (heures belges).

Énoncé

Un tétromino est une tuile qui peut être formée en collant côte à côte quatre carrés d'une unité de côté. Prouver que le nombre de façons de recouvrir le sol d'une salle de bain de taille

$2 \times 2n$ avec

$n$ tétrominos est un carré parfait, quel que soit

$n \geq 1$ .

Statistiques

Tenté par 93 personnes
Scores parfaits : 67

Origine du problème : Olympiade Australienne de Mathématiques, 2020, Jour 2, Problème 7

Problème #7

Solutions acceptées du dimanche 7 août 2022 à 8h00 au mardi 9 août 2022 à 8h00 (heures belges).

Énoncé

Soit

$n \in \mathbb{N}_0$ . On note

$C(n)$ le nombre de représentations de

$n$ comme somme de puissances décroissantes de

$2$ , où chaque puissance est utilisée au maximum

$3$ fois. Par exemple,

$C(8) = 5$ , car

$\begin{align} 8 &= 8\\ &= 4 + 4\\ &= 4 + 2 + 2\\ &= 4 + 2 + 1 + 1\\ & = 2 + 2 + 2 + 1 + 1 \end{align}$ Montrer qu'il existe un polynôme

$Q \in \mathbb R[x]$ tel que

$C(n) = \lfloor Q(n)\rfloor$ pour tout

$n \in \mathbb N_0$

Statistiques

Tenté par 70 personnes
Scores parfaits : 49

Origine du problème : Putnam, 1983, Jour 2, Problème 2

Problème #8

Solutions acceptées du lundi 8 août 2022 à 8h00 au mercredi 10 août 2022 à 8h00 (heures belges).

Énoncé

Soit

$n \ge 4$ un nombre entier. Trouver, en fonction de

$n$ , le plus petit entier

$k$ tel que, pour tout entier strictement positif

$m$ , chaque sous-ensemble à

$k$ éléments de l'ensemble

$\{m, m+1, \ldots, m+n-1\}$ contienne au moins

$3$ éléments premiers entre eux deux à deux.

Statistiques

Tenté par 48 personnes
Scores parfaits : 17

Origine du problème : Compétition Chinoise de Mathématiques, 2004

Problème #9

Solutions acceptées du mardi 9 août 2022 à 8h00 au jeudi 11 août 2022 à 8h00 (heures belges).

Énoncé

Soit

$M \geq 2$ un nombre entier. Existe-t-il une fonction

$g : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ satisfaisant la propriété suivante : pour toute fonction

$f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ vérifiant

$|f(k)-f(k+1)| = M$ pour tout

$k \in \mathbb{N}$ , il existe

$n \in \mathbb{N}$ tel que

$f(n) = g(n)$ ?

Statistiques

Tenté par 49 personnes
Scores parfaits : 31

Origine du problème : Rémi Delaby (Belgique)

Problème #10

Solutions acceptées du mercredi 10 août 2022 à 8h00 au vendredi 12 août 2022 à 8h00 (heures belges).

Énoncé

On partitionne l'ensemble

$\left\{\frac{1}{2007}, \frac{1}{2008},\ldots,\frac{1}{2022} \right\}$ en deux groupes. On note

$A$ la somme des éléments du premier groupe, et

$B$ la somme des éléments du second groupe. Déterminer la valeur minimale que peut prendre

$|A - B|$ .

Statistiques

Tenté par 33 personnes
Scores parfaits : 3

Origine du problème : Olympiade Chinoise de Mathématiques pour les Filles, 2017, Problème 4 (modifié)