Concours > Concours #6

Description

Après le tant décrié concours d'équations fonctionnelles, voici enfin venu le temps de la discipline reine des mathématiques, la beauté incarnée : la Géométrie :-P. Plus sérieusement, le concours sera orienté géométrie au sens large. Les problèmes auront le bon goût de ne pas nécessiter de dessin pour permettre aux plus occupés d'entre vous d'y réfléchir tout au long de la journée. La difficulté devrait être croissante entre les trois problèmes de chaque week-end.

Organisateur du concours : 13Corentin Bodart.

Problème #1

Solutions acceptées du samedi 8 juin 2019 à 10h00 au dimanche 9 juin 2019 à 23h00 (heures belges).
Énoncé
On dit qu’un polygone est inscrit dans un cube si tous ses sommets appartiennent à la surface du cube, mais pas tous à une même face. Quel est le nombre maximal de côtés d’un polygone convexe inscrit dans un cube ?
Statistiques
Tenté par 14 personnes
Scores parfaits : 7

Problème #2

Solutions acceptées du samedi 8 juin 2019 à 10h00 au dimanche 9 juin 2019 à 23h00 (heures belges).
Énoncé
Est-il possible de découper un carré en un nombre fini de quadrilatères non-convexes (et non-croisés) ?
Statistiques
Tenté par 5 personnes
Scores parfaits : 2
Origine du problème : TJHSST Black Book of Problem Solving, Problème 1.13

Problème #3

Solutions acceptées du samedi 8 juin 2019 à 10h00 au dimanche 9 juin 2019 à 23h00 (heures belges).
Énoncé
Quelle est l'aire minimale d'un polygone convexe dont les côtés sont de longueurs entières et le périmètre impair ?
Statistiques
Tenté par 2 personnes
Scores parfaits : 0
Origine du problème : Hungarian Mathematical Olympiad 1998

Problème #4

Solutions acceptées du samedi 15 juin 2019 à 10h00 au dimanche 16 juin 2019 à 23h00 (heures belges).
Énoncé
On considère trois cercles de rayons distincts et d'intérieurs disjoints. Pour chaque paire de cercles parmi ceux-ci, on marque l'intersection des tangentes communes extérieures. Montrez que les trois points marqués sont alignés.
Statistiques
Tenté par 3 personnes
Scores parfaits : 3
Origine du problème : TJHSST Black Book of Problem Solving, Problème 5.17

Problème #5

Solutions acceptées du samedi 15 juin 2019 à 10h00 au dimanche 16 juin 2019 à 23h00 (heures belges).
Énoncé
On pave un carré avec des quadrilatères (non-croisés). On marque ensuite, parmi les sommets de ces quadrilatères, tous ceux intérieurs au carré. Est-il possible qu’il y ait plus de sommets marqués que de quadrilatères utilisés pour le pavage ?

Par exemple, quatre quadrilatères sont utilisés dans le pavage


et un seul sommet (le sommet central) est marqué.
Statistiques
Tenté par 6 personnes
Scores parfaits : 2
Origine du problème : Inspiré par Quentin

Problème #6

Solutions acceptées du samedi 15 juin 2019 à 10h00 au dimanche 16 juin 2019 à 23h00 (heures belges).
Énoncé
Votre amie Emma dessine un carré sur une feuille et marque un point sur chaque côté de ce carré à l'indélébile. Malheureusement, Régina la maléfique passe et efface le reste du carré. Pour quels choix des quatre points est-il possible de reconstruire le carré initial à la règle et au compas ? Lorsque c'est possible, aidez Emma à retrouver son carré en décrivant une méthode de construction.
Statistiques
Tenté par 2 personnes
Scores parfaits : 0
Origine du problème : Examen d'entrée de l'Université d'Etat de Moscou, "Killer problems"