Théorie > Combinatoire > Coefficients binomiaux


Général

Introduction Chapitre entier

Points théoriques

Introduction Binôme de Newton Triangle de Pascal

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5

Introduction

Nous avons vu dans les sections précédentes différents symboles dont $A^k_n$, $B^k_n$, $C^k_n$ et $D^k_n$. En fait, la plus connue de ces notations est $C^k_n$ (il faut d'ailleurs faire attention en utilisant les autres : il vaut mieux préciser ce dont on parle car les notations ne sont pas courantes).

Nous allons maintenant nous intéresser de plus près à la valeur de $C^k_n$ en fonction de $k$ et de $n$. Rappelons que, pour $0 \leq k \leq n$,
$$C^k_n = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}.$$ (NB : par convention, $0! = 1$). Comme déjà mentionné précédemment, il s'agit d'un nombre entier puisqu'il a été défini comme étant un nombre de combinaisons. On peut également remarquer que
$$C^k_n = C^{n-k}_n.$$ C'est évident en observant la formule, mais cela a aussi un sens du point de vue des combinaisons : choisir $k$ objets parmi $n$, cela revient exactement à choisir les $n-k$ objets que l'on ne prend pas! Il y a donc autant de façons de choisir $k$ objets parmi $n$ que d'en choisir $n-k$.