Théorie > Théorie des nombres > Équations diophantiennes


Général

Introduction Chapitre entier

Points théoriques

Introduction Triplets pythagoriciens Descente infinie Équation de Pell

Exercices

Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4 Exercice 5

Introduction

Une équation diophantienne est un terme assez général pour désigner une équation dont les coefficients sont entiers et dont on cherche les solutions entières. Nous avons en fait déjà rencontré une équation diophantienne : l'équation
$$ax+by=c$$ avec $a, b, c \in \mathbb{Z}$ et d'inconnues $x, y \in \mathbb{Z}$. Nous avons démontré grâce au théorème de Bézout que cette équation possède une solution si et seulement si $c$ est un multiple de $(a, b)$, et nous avons même vu qu'elle avait dans ce cas une infinité de solutions.

Il existe bien sûr des équations diophantiennes en tout genre, et il n'est pas possible de donner des solutions générales à chacune d'entre elles. Ce qui rend ces équations intéressantes est justement qu'elles peuvent s'écrire très simplement mais que leur résolution peut parfois se révéler très ardue. Gauss disait lui-même à leur sujet : "Leur charme particulier vient de la simplicité des énoncés jointe à la difficulté des preuves."