Théorie > Théorie des nombres > Équations diophantiennes


Général

Introduction Chapitre entier

Points théoriques

Introduction Triplets pythagoriciens Descente infinie Équation de Pell

Exercices

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Équation de Pell

Une équation de Pell est une équation diophantienne de la forme
$$x^2 - Ky^2 = 1,$$ où $K$ est un entier positif qui n'est pas un carré parfait. Cette condition a priori étrange sur $K$ est en fait naturelle, puisque l'équation ne possède pas de solutions réellement intéressantes lorsque $K$ est un carré. En effet, si $K = L^2$, alors l'équation se réécrit $x^2 - (Ly)^2 = 1$, c'est-à-dire $(x-Ly)(x+Ly) = 1$, et les seules solutions sont $(1,0)$ et $(-1,0)$.

Un premier résultat intéressant concernant l'équation de Pell est le suivant.

Si l'équation de Pell $x^2 - K y^2 = 1$ admet une solution $(x_1,y_1) \in \mathbb{N}_0^2$, alors elle en admet une infinité $(x_n, y_n) \in \mathbb{N}_0^2$ (avec $n \geq 1$) données par
$$\left\{\begin{align}
x_n = \frac{(x_1+\sqrt{K} y_1)^n + (x_1 - \sqrt{K}y_1)^n}{2}\\
y_n = \frac{(x_1+\sqrt{K} y_1)^n - (x_1 - \sqrt{K}y_1)^n}{2\sqrt{K}}
\end{align}\right. \quad (*)$$

Démonstration :
Comme $(x_1,y_1)$ est solution, on a
$$x_1^2 - Ky_1^2 = 1,$$ ce qui peut se réécrire
$$(x_1 - \sqrt{K}y_1)(x_1 + \sqrt{K}y_1) = 1.$$ En élevant cette égalité à la puissance $n$, on obtient
$$(x_1 - \sqrt{K}y_1)^n(x_1 + \sqrt{K}y_1)^n = 1. \quad (1)$$ Or, par la formule du binôme de Newton (voir combinatoire), on sait que
$$(x_1 + \sqrt{K}y_1)^n = C^0_nx_1^n +C^1_n x_1^{n-1}y_1 \sqrt{K} + C^2_n x_1^{n-2}y_1^2K + \ldots + C^n_n y_1^n (\sqrt{K})^n.$$ Dans cette expression, un terme sur deux est entier (car il contient une puissance paire de $\sqrt{K}$ alors que les autres termes sont des multiples entiers de $\sqrt{K}$). On peut donc écrire
$$(x_1 + \sqrt{K}y_1)^n = x_n + \sqrt{K} y_n \quad (2)$$ avec $x_n, y_n \in \mathbb{N}$. Si on effectue le même raisonnement en développant $(x_1 - \sqrt{K}y_1)^n$, alors on obtiendra exactement les mêmes termes, hormis ceux multiples de $\sqrt{K}$ qui seront précédés d'un signe moins. Autrement dit, on a
$$(x_1 - \sqrt{K}y_1)^n = x_n - \sqrt{K} y_n, \quad (3)$$ où $x_n$ et $y_n$ sont les mêmes nombres que précédemment. En réinjectant $(2)$ et $(3)$ dans $(1)$, on obtient finalement
$$x_n^2 - Ky_n^2 = 1,$$ ce qui signifie que $(x_n,y_n)$ est à son tour solution de l'équation de Pell. De plus, on peut calculer $x_n$ et $y_n$ directement à partir de $x_1$ et $y_1$ en combinant les équations $(2)$ et $(3)$ et on retrouve exactement les formules de l'énoncé.

Si l'on trouve une solution (strictement positive) à une équation de Pell, alors on en a donc une infinité par la proposition précédente. En fait, on peut montrer que si $(x_1, y_1) \in \mathbb{N}_0^2$ est la plus petite des solutions, alors les solutions $(x_n, y_n)$ données par $(*)$ constituent toutes les solutions strictement positives de l'équation! Par "plus petite" des solutions, on veut dire celle qui minimise $x$ (et qui minimise alors aussi $y$). On appelle celle-ci solution minimale de l'équation de Pell $x^2-Ky^2 = 1$. On peut alors montrer qu'une telle solution minimale existe, et qu'on peut trouver toutes les autres solutions à partir de celle-ci.

L'équation de Pell $x^2-Ky^2 = 1$ possède une (unique) solution minimale $(x_0,y_0) \in \mathbb{N}_0^2$ et toutes les solutions strictement positives de cette équation sont données par les formules $(*)$ avec $(x_1,y_1) = (x_0,y_0)$ et $n \geq 1$.

Nous ne donnons pas la démonstration de ce résultat.