Prérequis
Résumé
Nous voyons dans ce chapitre l'inégalité de Cauchy-Schwarz ainsi que l'inégalité triangulaire. Elles ont la particularité d'avoir une signification vectorielle, c'est-à-dire géométrique. L'inégalité de Cauchy-Schwarz est particulièrement connue et se rencontre dans de nombreux domaines.
Ce chapitre a été
écrit par B. Legat et N. Radu et
mis en ligne le 8 décembre 2014.
1. Inégalité de Cauchy-Schwarz
L'inégalité de Cauchy-Schwarz est l'inégalité remarquable suivante.
Inégalité de Cauchy-Schwarz
Soient $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$ et $b_1, \ldots, b_n \in \mathbb{R}$. On a l'inégalité
$$(a_1b_1 + \ldots + a_nb_n)^2 \leq \left(a_1^2 + \ldots + a_n^2\right)\cdot\left(b_1^2 + \ldots + b_n^2\right),$$ ce qui s'écrit aussi, à l'aide du signe somme,
$$\left(\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 \leq
\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \cdot
\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right).$$ De plus, l'égalité a lieu si et seulement si les vecteurs $(a_1, \ldots, a_n)$ et $(b_1, \ldots, b_n)$ sont proportionnels, c'est-à-dire si $a_i = 0$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$ ou s'il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $b_i = \lambda a_i$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$.
Cette inégalité est parfois mieux connue sous la forme suivante (que l'on obtient en prenant la racine carrée de chaque membre) :
$$\left|\sum_{i=1}^n a_i b_i\right| \leq
\sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} \cdot
\sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2},$$ qui est bien sûr également vraie en supprimant les valeurs absolues puisque $x \leq |x|$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Démonstration
On remarque que l'inégalité de Cauchy-Schwarz peut se réécrire
$$\left(2\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 - 4
\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \cdot
\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) \leq 0$$ Cela ressemble à la condition "$b^2-4ac \leq 0$" apparaissant dans l'étude du signe d'un polynôme $ax^2 + bx + c$. Ici, le polynôme correspondant est alors
$$P(x) = \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) x^2 + \left(2\sum_{i=1}^n a_ib_i\right) x + \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right).$$ Si les $a_i$ sont tous nuls, alors l'inégalité de Cauchy-Schwarz est trivialement vérifiée (et on a même l'égalité). On peut donc à présent supposer qu'ils ne sont pas tous nuls de sorte que $P$ soit bien un polynôme du second degré (le coefficient $\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)$ de $x^2$ est dans ce cas non-nul).
Comme nous l'avons vu, l'inégalité de Cauchy-Schwarz sera vérifiée si et seulement si le polynôme $P(x)$ est du signe de $\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)$, c'est-à-dire positif, pour tout $x \in \mathbb{R}$. Or, on remarque qu'on a justement
$$\begin{align}
P(x) & = \sum_{i=1}^n \left(a_i^2 x^2 + 2a_ib_i x + b_i^2\right)\\
& = \sum_{i=1}^n \left(a_i x + b_i\right)^2 \geq 0,
\end{align}$$ ce qui signifie que l'inégalité de Cauchy-Schwarz est bel et bien vérifiée.
Enfin, on aura l'égalité si et seulement si les $a_i$ sont tous nuls (comme nous l'avons déjà vu) ou si "$b^2 - 4ac = 0$", c'est-à-dire s'il existe un certain $x \in \mathbb{R}$ tel que $P(x) = 0$. Cela est équivalent à dire que $a_i x + b_i = 0$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$, ou encore que $b_i = - x a_i$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$. En posant $\lambda = -x$, on a bien le cas d'égalité annoncé.
Interprétation géométrique
Il existe en fait une intuition géométrique derrière l'inégalité de Cauchy-Schwarz. En effet, pour $n = 2$ et $n = 3$ (cela se généralise en fait pour tout $n \in \mathbb{N}$, quoique cela soit moins intuitif), l'expression $\displaystyle\sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}$ est la norme $\|\vec{a}\|$ du vecteur $\vec{a} = (a_1, \ldots, a_n)$. D'autre part, l'expression $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i b_i$ est le produit scalaire $\vec{a} \cdot \vec{b}$ des deux vecteurs $\vec{a} = (a_1, \ldots, a_n)$ et $\vec{b} = (b_1, \ldots, b_n)$. Cela signifie que l'inégalité de Cauchy-Schwarz se réécrit en fait simplement
$$|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq \|\vec{a}\| \cdot \|\vec{b}\|,$$ et que l'égalité a lieu si et seulement si les vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ sont parallèles.
En plus de donner une intuition géométrique, cette constatation permet de retenir assez facilement l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
2. Inégalité triangulaire
L'inégalité triangulaire est, tout comme l'inégalité de Cauchy-Schwarz, une inégalité remarquable possédant une interprétation géométrique.
Inégalité triangulaire
Soient $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{R}$ et $b_1, \ldots, b_n \in \mathbb{R}$. On a l'inégalité
$$\sqrt{ (a_1+b_1)^2 + \ldots + (a_n+b_n)^2 } \leq \sqrt{a_1^2 + \ldots + a_n^2} + \sqrt{b_1^2 + \ldots + b_n^2},$$ ce qui s'écrit aussi, à l'aide du signe somme,
$$\sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i + b_i)^2} \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2} + \sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}.$$ De plus, l'égalité a lieu si et seulement si $a_i = 0$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$ ou s'il existe $\lambda \in \mathbb{R}^+$ tel que $b_i = \lambda a_i$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$.
Pour $n = 1$, l'inégalité triangulaire s'écrit simplement
$$|a+b| \leq |a| + |b|.$$ Cette version simplifiée peut s'avérer utile dans beaucoup de raisonnements.
Démonstration
La fonction $f : t \mapsto t^2$ étant strictement croissante, on peut élever les deux membres de l'inégalité triangulaire désirée au carré pour obtenir une inégalité équivalente. On doit donc prouver que
$$\sum_{i=1}^n (a_i + b_i)^2 \leq \sum_{i=1}^n a_i^2 + \sum_{i=1}^n b_i^2 + 2\sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}.$$ Comme $\displaystyle\sum_{i=1}^n (a_i + b_i)^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 + \sum_{i=1}^n b_i^2 + 2\sum_{i=1}^n a_i b_i$, cette inégalité est elle-même équivalente à
$$\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2},$$ qui est toujours vraie puisque
$$\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \left|\sum_{i=1}^n a_i b_i\right| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}$$ par l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Finalement, on a l'égalité si et seulement si $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i b_i$ est positif et si on a l'égalité dans Cauchy-Schwarz. On sait que cette dernière a lieu lorsque les $a_i$ sont tous nuls ou quand il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $b_i = \lambda a_i$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$. Pour que $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i b_i \geq 0$, il faut que $\lambda$ soit positif, ce qui explique le cas d'égalité annoncé.
Interprétation géométrique
À nouveau, on peut avoir une intuition géométrique de cette inégalité, principalement lorsque $n = 2$ ou $n = 3$. En effet, celle-ci s'écrit
$$\|\vec{a}+\vec{b}\| \leq \|\vec{a}\| + \|\vec{b}\|$$ où $\vec{a} = (a_1, \ldots, a_n)$ et $\vec{b} = (b_1, \ldots, b_n)$ sont des vecteurs de $\mathbb{R}^n$. Aussi, l'égalité a lieu si et seulement si les deux vecteurs $\vec{a}$ et $\vec{b}$ sont parallèles et dans le même sens (car $\lambda$ doit être positif).
On peut par ailleurs facilement comprendre pourquoi cette inégalité s'appelle
inégalité triangulaire. En effet, si on considère un triangle $ABC$, on peut considérer $\vec{a} = \vec{AB}$ et $\vec{b} = \vec{BC}$. On a alors $\vec{a} + \vec{b} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ et l'inégalité triangulaire s'écrit dans ce cas
$$\| \vec{AC} \| \leq \| \vec{AB} \| + \| \vec{BC} \|.$$ Elle signifie donc que dans tout triangle, la longueur d'un côté est toujours inférieure ou égale à la somme des longueurs des deux autres côtés.