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On remarque que l'inégalité de Cauchy-Schwarz peut se réécrire
$$\left(2\sum_{i=1}^n a_i b_i\right)^2 - 4
\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) \cdot
\left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right) \leq 0$$ Cela ressemble à la condition "$b^2-4ac \leq 0$" apparaissant dans l'étude du signe d'un polynôme $ax^2 + bx + c$. Ici, le polynôme correspondant est alors
$$P(x) = \left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right) x^2 + \left(2\sum_{i=1}^n a_ib_i\right) x + \left(\sum_{i=1}^n b_i^2\right).$$ Si les $a_i$ sont tous nuls, alors l'inégalité de Cauchy-Schwarz est trivialement vérifiée (et on a même l'égalité). On peut donc à présent supposer qu'ils ne sont pas tous nuls de sorte que $P$ soit bien un polynôme du second degré (le coefficient $\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)$ de $x^2$ est dans ce cas non-nul).
Comme nous l'avons vu, l'inégalité de Cauchy-Schwarz sera vérifiée si et seulement si le polynôme $P(x)$ est du signe de $\displaystyle\left(\sum_{i=1}^n a_i^2\right)$, c'est-à-dire positif, pour tout $x \in \mathbb{R}$. Or, on remarque qu'on a justement
$$\begin{align}
P(x) & = \sum_{i=1}^n \left(a_i^2 x^2 + 2a_ib_i x + b_i^2\right)\\
& = \sum_{i=1}^n \left(a_i x + b_i\right)^2 \geq 0,
\end{align}$$ ce qui signifie que l'inégalité de Cauchy-Schwarz est bel et bien vérifiée.
Enfin, on aura l'égalité si et seulement si les $a_i$ sont tous nuls (comme nous l'avons déjà vu) ou si "$b^2 - 4ac = 0$", c'est-à-dire s'il existe un certain $x \in \mathbb{R}$ tel que $P(x) = 0$. Cela est équivalent à dire que $a_i x + b_i = 0$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$, ou encore que $b_i = - x a_i$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$. En posant $\lambda = -x$, on a bien le cas d'égalité annoncé.

Posons $A_i = \frac{a_i}{\sqrt{b_i}}$ et $B_i = \sqrt{b_i}$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$, et appliquons l'inégalité de Cauchy-Schwarz à $(A_1, \ldots, A_n)$ et $(B_1, \ldots, B_n)$. Vu que $A_iB_i = a_i$, on obtient directement que
$$(a_1+\ldots+a_n)^2 \le \left(\frac{a_1^2}{b_i}+\ldots+\frac{a_n^2}{b_n}\right)\cdot (b_1+\ldots+b_n)$$ et il suffit de diviser les deux membres par $b_1+\ldots+b_n > 0$ pour obtenir l'inégalité souhaitée.

L'égalité a lieu dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz si et seulement si les vecteurs $(A_1, \ldots, A_n)$ et $(B_1, \ldots, B_n)$ sont proportionnels, ce qui revient à dire qu'il existe $\lambda \in \mathbb R$ tel que $A_i = \lambda B_i$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$ (car les $B_i$ ne sont ici jamais nuls). Autrement dit, on doit avoir $\frac{a_i}{\sqrt{b_i}} = \lambda \sqrt{b_i}$, ou encore $a_i = \lambda b_i$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$.

La fonction $f : t \mapsto t^2$ étant strictement croissante, on peut élever les deux membres de l'inégalité triangulaire désirée au carré pour obtenir une inégalité équivalente. On doit donc prouver que
$$\sum_{i=1}^n (a_i + b_i)^2 \leq \sum_{i=1}^n a_i^2 + \sum_{i=1}^n b_i^2 + 2\sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}.$$ Comme $\displaystyle\sum_{i=1}^n (a_i + b_i)^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 + \sum_{i=1}^n b_i^2 + 2\sum_{i=1}^n a_i b_i$, cette inégalité est elle-même équivalente à
$$\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2},$$ qui est toujours vraie puisque
$$\sum_{i=1}^n a_i b_i \leq \left|\sum_{i=1}^n a_i b_i\right| \leq \sqrt{\sum_{i=1}^n a_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^n b_i^2}$$ par l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Finalement, on a l'égalité si et seulement si $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i b_i$ est positif et si on a l'égalité dans Cauchy-Schwarz. On sait que cette dernière a lieu lorsque les $a_i$ sont tous nuls ou quand il existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tel que $b_i = \lambda a_i$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$. Pour que $\displaystyle\sum_{i=1}^n a_i b_i \geq 0$, il faut que $\lambda$ soit positif, ce qui explique le cas d'égalité annoncé.