L'inégalité suivante est un corollaire relativement connu de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
Inégalité des mauvais élèves
Soient $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb R$ et $b_1, \ldots, b_n \in \mathbb R_0^+$. On a l'inégalité
$$\frac{(a_1+\ldots+a_n)^2}{b_1+\ldots+b_n} \le \frac{a_1^2}{b_1} + \ldots + \frac{a_n^2}{b_n}.$$ L'égalité a lieu si et seulement si les vecteurs $(a_1, \ldots, a_n)$ et $(b_1, \ldots, b_n)$ sont proportionnels, c'est-à-dire s'il existe $\lambda \in \mathbb R$ tel que $a_i = \lambda b_i$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$.
Démonstration
Posons $A_i = \frac{a_i}{\sqrt{b_i}}$ et $B_i = \sqrt{b_i}$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$, et appliquons l'inégalité de Cauchy-Schwarz à $(A_1, \ldots, A_n)$ et $(B_1, \ldots, B_n)$. Vu que $A_iB_i = a_i$, on obtient directement que
$$(a_1+\ldots+a_n)^2 \le \left(\frac{a_1^2}{b_i}+\ldots+\frac{a_n^2}{b_n}\right)\cdot (b_1+\ldots+b_n)$$ et il suffit de diviser les deux membres par $b_1+\ldots+b_n > 0$ pour obtenir l'inégalité souhaitée.
L'égalité a lieu dans l'inégalité de Cauchy-Schwarz si et seulement si les vecteurs $(A_1, \ldots, A_n)$ et $(B_1, \ldots, B_n)$ sont proportionnels, ce qui revient à dire qu'il existe $\lambda \in \mathbb R$ tel que $A_i = \lambda B_i$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$ (car les $B_i$ ne sont ici jamais nuls). Autrement dit, on doit avoir $\frac{a_i}{\sqrt{b_i}} = \lambda \sqrt{b_i}$, ou encore $a_i = \lambda b_i$ pour tout $i \in \{1, \ldots, n\}$.
L'origine du nom de cette inégalité n'est pas très claire, mais une façon de le voir est de se dire qu'un élève qui ferait des opérations de mise au carré, quotient et somme dans un mauvais ordre (en effectuant la somme avant la mise au carré et le quotient) obtiendrait un résultat plus petit qu'attendu.