Théorie > Géométrie > Angles
Prérequis
Aucun prérequis.
Résumé
La première étape dans tout problème de géométrie est la chasse aux angles, consistant à repérer les angles ayant des amplitudes égales ou ayant un lien intéressant. Pour ce faire, il est primordial de connaître toutes les égalités remarquables concernant les angles, comme les angles alternes-internes ou les angles interceptant un même arc dans un cercle. Il s'agit de notions très basiques mais dont on ne peut se passer lors de la résolution d'un problème de géométrie.
Ce chapitre a été écrit par N. Radu et mis en ligne le 8 décembre 2014.
1. Égalités d'angles
Il existe de nombreuses situations dans lesquelles deux angles ont la même amplitude. Celles-ci sont bien connues mais les rappeler ne peut évidemment pas faire de tort.
Sur la figure ci-dessous, les angles $\hat{A}_1$ et $\hat{A}_3$ sont opposés par le sommet, tout comme les angles $\hat{A}_2$ et $\hat{A}_4$.
On peut en fait remarquer que $\hat{A}_1$ est l'angle opposé par le sommet d'un angle correspondant à $\hat{B}_1$.
Angles opposés par le sommet
Lorsque deux droites se croisent, elles forment quatre angles. Deux angles non-adjacents sont dits opposés par le sommet.Sur la figure ci-dessous, les angles $\hat{A}_1$ et $\hat{A}_3$ sont opposés par le sommet, tout comme les angles $\hat{A}_2$ et $\hat{A}_4$.
Propriété (angles opposés par le sommet)
Des angles opposés par le sommet ont la même amplitude.
Angles correspondants
Lorsqu'une droite intersecte deux droites parallèles, elle forme également des angles. Les angles $\hat{A}_1$ et $\hat{B}_1$ représentés ci-dessous sont alors dits correspondants.Propriété (angles correspondants)
Des angles correspondants ont la même amplitude.
Angles alternes-internes
Dans la même situation, les angles $\hat{A}_1$ et $\hat{B}_1$ représentés ci-dessous sont dits alternes-internes.Propriété (angles alternes-internes)
Des angles alternes-internes ont la même amplitude.
On peut en fait remarquer que $\hat{A}_1$ est l'angle opposé par le sommet d'un angle correspondant à $\hat{B}_1$.
2. Angles dans un cercle
Un cercle est toujours annonciateur de nombreux angles de même amplitude. Commençons par rappeler quelques mots de vocabulaire.
Si $O$ est le centre du cercle, l'angle $\widehat{AOC}$ possède aussi un nom : il s'agit de l'angle au centre interceptant l'arc $AC$.
Enfin, dans la situation représentée ci-dessous impliquant une droite tangente au cercle en un point $B$, l'angle $\widehat{ABC}$ est cette fois dit tangentiel et interceptant l'arc $AB$.
Sur la figure suivante, on a donc
$$\displaystyle\frac{\widehat{AOB}}{2} = \widehat{AEB} = \widehat{ADB} = \widehat{ABC}$$ car tous ces angles interceptent l'arc $AB$. Remarquons cependant que si $F$ était un point du petit arc $AB$, alors $\widehat{AFB}$ intercepterait cette fois-ci le grand arc $AB$ et ne pourrait donc pas être inclus dans la suite d'égalité. En fait, on verra plus tard qu'on a dans ce cas $\widehat{AFB} = 180^° - \widehat{AEB}$.
Vocabulaire
Si $A$, $B$ et $C$ sont trois points sur un cercle, l'angle $\widehat{ABC}$ est appelé angle inscrit au cercle. L'arc intercepté par $\widehat{ABC}$ est par définition l'arc de cercle $AC$ ne contenant pas le point $B$. Celui-ci est représenté en gras sur la figure ci-dessous.Si $O$ est le centre du cercle, l'angle $\widehat{AOC}$ possède aussi un nom : il s'agit de l'angle au centre interceptant l'arc $AC$.
Enfin, dans la situation représentée ci-dessous impliquant une droite tangente au cercle en un point $B$, l'angle $\widehat{ABC}$ est cette fois dit tangentiel et interceptant l'arc $AB$.
Propriétés
Lorsque des angles, qu'ils soient inscrits, au centre ou tangentiels, interceptent un même arc, alors on peut en déduire des égalités à propos de leur amplitude. Plus précisément, on a les propriétés suivantes. Les angles dont nous parlons sont bien sûr toujours sur un unique cercle.Propriété (angles inscrits)
Des angles inscrits interceptant le même arc ont même amplitude.
Propriété (angles au centre et inscrit)
Si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc, alors l'amplitude de l'angle au centre est double de celle de l'angle inscrit.
Propriété (angles tangentiel et inscrit)
Un angle inscrit et un angle tangentiel interceptant le même arc ont même amplitude.
Sur la figure suivante, on a donc
$$\displaystyle\frac{\widehat{AOB}}{2} = \widehat{AEB} = \widehat{ADB} = \widehat{ABC}$$ car tous ces angles interceptent l'arc $AB$. Remarquons cependant que si $F$ était un point du petit arc $AB$, alors $\widehat{AFB}$ intercepterait cette fois-ci le grand arc $AB$ et ne pourrait donc pas être inclus dans la suite d'égalité. En fait, on verra plus tard qu'on a dans ce cas $\widehat{AFB} = 180^° - \widehat{AEB}$.
3. Chasse aux angles
La première étape dans la résolution de tout problème de géométrie est la chasse aux angles. Elle consiste à trouver, sur la figure relative à l'énoncé du problème, tous les angles ayant la même amplitude. Cette chasse aux angles permet souvent d'identifier des droites parallèles ou perpendiculaires, des triangles semblables, ou encore des quadrilatères cycliques (nous verrons ce dont il s'agit par la suite).
Pour trouver ces angles ayant la même amplitude, on peut donner une valeur (par exemple $\alpha$ ou $\beta$) à un ou plusieurs angles semblant intéressants et en déduire les valeurs des autres angles de la figure. On peut pour cela utiliser les égalités dont nous avons parlé précédemment : les angles opposés par le sommets, les angles correspondants, les angles alternes-internes, les angles inscrits, tangentiels, au centre... On peut également utiliser que la somme des amplitudes des angles d'un même triangle vaut toujours $180^\circ$, que les triangles isocèles possèdent deux angles égaux, etc...
Le problème suivant est un problème d'Olympiades Internationales (2000, problème 1). Nous allons voir comment la chasse aux angles permet à elle seule de trouver un grand nombre d'informations. Il s'agit en fait là d'une partie essentielle dans la résolution de ce problème.
Pour trouver ces angles ayant la même amplitude, on peut donner une valeur (par exemple $\alpha$ ou $\beta$) à un ou plusieurs angles semblant intéressants et en déduire les valeurs des autres angles de la figure. On peut pour cela utiliser les égalités dont nous avons parlé précédemment : les angles opposés par le sommets, les angles correspondants, les angles alternes-internes, les angles inscrits, tangentiels, au centre... On peut également utiliser que la somme des amplitudes des angles d'un même triangle vaut toujours $180^\circ$, que les triangles isocèles possèdent deux angles égaux, etc...
Le problème suivant est un problème d'Olympiades Internationales (2000, problème 1). Nous allons voir comment la chasse aux angles permet à elle seule de trouver un grand nombre d'informations. Il s'agit en fait là d'une partie essentielle dans la résolution de ce problème.
Problème (IMO 2000, P1)
Deux cercles $G_1$ et $G_2$ s'intersectent en deux points $M$ et $N$. Soit $AB$ la droite tangente à ces cercles en $A$ et $B$, respectivement, de sorte que $M$ soit plus proche de $AB$ que $N$. Soit $CD$ la droite parallèle à $AB$ et passant par $M$, avec $C$ sur $G_1$ et $D$ sur $G_2$. Les droites $AC$ et $BD$ se rencontrent en $E$, les droites $AN$ et $CD$ se rencontrent en $P$ et les droites $BN$ et $CD$ se rencontrent en $Q$. Prouver que $|EP| = |EQ|$.
Début de démonstration
Pour notre chasse aux angles, on pose $\alpha = \widehat{EAB}$. On a alors :
De la même façon, on pose $\beta = \widehat{EBA}$ et on trouve pareillement $\widehat{EDM} = \widehat{ABM} = \widehat{BMD} = \beta$. Le triangle $BMD$ est donc à son tour isocèle.
Notre chasse aux angles nous a donc permis de prouver cette perpendicularité. Et celle-ci est très intéressante pour ce que nous avons à montrer ! En effet, on veut prouver que $|EP| = |EQ|$, mais maintenant que l'on sait que $EM \perp PQ$, on est simplement ramené à prouver que $|MP| = |MQ|$.
Pour montrer cette dernière égalité, il faut connaître quelques outils supplémentaires en géométrie, mais nous voyons qu'une simple chasse aux angles peut permettre de considérablement progresser dans la résolution d'un problème. Il est d'ailleurs très rare de rencontrer un problème où aucune chasse aux angles n'est nécessaire.
- $\widehat{ECM} = \widehat{EAB} = \alpha$ par angles correspondants,
- $\widehat{BAM} = \widehat{ACM} = \alpha$ car il s'agit d'angles inscrit et tangentiel interceptant le même arc,
- $\widehat{AMC} = \widehat{BAM} = \alpha$ par angles alternes-internes,
De la même façon, on pose $\beta = \widehat{EBA}$ et on trouve pareillement $\widehat{EDM} = \widehat{ABM} = \widehat{BMD} = \beta$. Le triangle $BMD$ est donc à son tour isocèle.
Notre chasse aux angles nous a donc permis de prouver cette perpendicularité. Et celle-ci est très intéressante pour ce que nous avons à montrer ! En effet, on veut prouver que $|EP| = |EQ|$, mais maintenant que l'on sait que $EM \perp PQ$, on est simplement ramené à prouver que $|MP| = |MQ|$.
Pour montrer cette dernière égalité, il faut connaître quelques outils supplémentaires en géométrie, mais nous voyons qu'une simple chasse aux angles peut permettre de considérablement progresser dans la résolution d'un problème. Il est d'ailleurs très rare de rencontrer un problème où aucune chasse aux angles n'est nécessaire.
4. Angles orientés
Généralement, on ne considère pas les angles comme étant orientés, en ce sens que les expressions $\widehat{ABC}$ et $\widehat{CBA}$ désignent la même amplitude d'angle, entre $0$ et $\pi$ radians (c'est-à-dire entre $0^\circ$ et $180^\circ$). La plupart du temps sur ce site, et sauf mention contraire, les angles que nous mentionnerons seront en effet non-orientés. Il existe cependant certaines situations dans lesquelles il peut être utile de parler d'angles orientés.
Parler d'angles orientés, c'est décider que les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{CBA}$ n'auront plus la même amplitude, mais des amplitudes opposées. Pour être plus précis, on commence par se fixer une orientation du plan. Par convention, on oriente le plan dans le sens trigonométrique, c'est-à-dire le sens inverse des aiguilles d'une montre. Une rotation dans le sens trigonométrique sera donc considérée comme positive, alors qu'une rotation dans le sens inverse sera considérée comme négative. À présent, l'amplitude de l'angle orienté $\widehat{ABC}$ est définie comme étant l'angle de la rotation qu'il faut appliquer à la demi-droite $[BA)$ pour l'envoyer sur $[BC)$, en prenant compte du signe de la rotation (selon le sens dans lequel elle s'effectue). Puisqu'une rotation de $2\pi$ (c'est-à-dire $360^\circ$) revient à ne rien tourner, les angles orientés sont définis à un multiple de $2\pi$ près (c'est-à-dire à un multiple de $360^\circ$ près).
La façon la plus simple de comprendre la notion d'angle orienté est de regarder un exemple. Sur la figure suivante, le triangle $ABC$ est équilatéral.
Pour envoyer $[BA)$ sur $[BC)$, on peut appliquer une rotation de $60^\circ$ dans le sens trigonométrique, donc $\widehat{ABC} = 60^\circ$. Cela dit, on peut également appliquer une rotation de $300^\circ$ dans le sens anti-trigonométrique, donc on a aussi $\widehat{ABC} = -300^\circ$. Cela n'est pas dérangeant : les angles $60^\circ$ et $-300^\circ$ sont considérés comme égaux (car égaux à un multiple de $360^\circ$ près). Par contre, l'angle $\widehat{CBA}$ n'a pas une amplitude de $60^\circ$ mais une amplitude de $-60^\circ$, ce qui est aussi égal à $300^\circ$. Lorsqu'on mesure en angles orientés, il faut donc toujours faire bien attention à l'ordre dans lequel on écrit les lettres car les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{CBA}$ sont considérés comme différents.
On voudra alors, par exemple, utiliser l'égalité évidente $\widehat{ABC} = \widehat{ABD}+\widehat{DBC}$ (en angles non-orientés). Or, cette égalité est certes vraie sur notre figure, mais il existe d'autres configurations pour lesquelles elle n'est plus vraie ! Par exemple, plaçons les quatre points dans l'ordre $A$, $B$, $D$, $C$ comme sur la figure suivante.
En angles non-orientés, il s'avère que $\widehat{ABC} = \widehat{ABD} - \widehat{DBC}$ (et non plus $\widehat{ABD} + \widehat{DBC}$) ! Si l'on travaille avec des angles non-orientés, il faut donc envisager les deux cas et faire deux raisonnements différents pour résoudre le problème quelle que soit la situation rencontrée ! Cela rend alors les choses deux fois plus longues, d'autant qu'il est probable qu'il faille encore recouper le raisonnement en deux parties plus tard pour les mêmes raisons.
Si par contre on décide de travailler avec des angles orientés (auquel cas il est important de le préciser), alors les choses s'avèrent être plus simples. En effet, en angles orientés, l'égalité $\widehat{ABC} = \widehat{ABD}+\widehat{DBC}$ est correcte quelle que soit la configuration ! Cela vient du fait que $\widehat{CBD} = -\widehat{DBC}$. Il n'est donc pas nécessaire de commencer à discuter différents cas.
Il est toutefois nécessaire, quand plusieurs configurations sont possibles et que l'on décide de travailler avec des angles orientés, de bien vérifier que les angles orientés résolvent le problème des configurations multiples. En effet, il existe des situations pour lesquelles cela ne fonctionne pas. Par exemple, l'égalité $\widehat{ABD} = \widehat{ACD}$ est vraie dans la première figure ci-dessus mais n'est pas correcte dans la deuxième, que les angles soient orientés ou non !
Parler d'angles orientés, c'est décider que les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{CBA}$ n'auront plus la même amplitude, mais des amplitudes opposées. Pour être plus précis, on commence par se fixer une orientation du plan. Par convention, on oriente le plan dans le sens trigonométrique, c'est-à-dire le sens inverse des aiguilles d'une montre. Une rotation dans le sens trigonométrique sera donc considérée comme positive, alors qu'une rotation dans le sens inverse sera considérée comme négative. À présent, l'amplitude de l'angle orienté $\widehat{ABC}$ est définie comme étant l'angle de la rotation qu'il faut appliquer à la demi-droite $[BA)$ pour l'envoyer sur $[BC)$, en prenant compte du signe de la rotation (selon le sens dans lequel elle s'effectue). Puisqu'une rotation de $2\pi$ (c'est-à-dire $360^\circ$) revient à ne rien tourner, les angles orientés sont définis à un multiple de $2\pi$ près (c'est-à-dire à un multiple de $360^\circ$ près).
La façon la plus simple de comprendre la notion d'angle orienté est de regarder un exemple. Sur la figure suivante, le triangle $ABC$ est équilatéral.
Pour envoyer $[BA)$ sur $[BC)$, on peut appliquer une rotation de $60^\circ$ dans le sens trigonométrique, donc $\widehat{ABC} = 60^\circ$. Cela dit, on peut également appliquer une rotation de $300^\circ$ dans le sens anti-trigonométrique, donc on a aussi $\widehat{ABC} = -300^\circ$. Cela n'est pas dérangeant : les angles $60^\circ$ et $-300^\circ$ sont considérés comme égaux (car égaux à un multiple de $360^\circ$ près). Par contre, l'angle $\widehat{CBA}$ n'a pas une amplitude de $60^\circ$ mais une amplitude de $-60^\circ$, ce qui est aussi égal à $300^\circ$. Lorsqu'on mesure en angles orientés, il faut donc toujours faire bien attention à l'ordre dans lequel on écrit les lettres car les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{CBA}$ sont considérés comme différents.
Exemple d'utilisation
A priori, il semble que décider d'utiliser les angles orientés ne fait que compliquer les choses. Cela dit, il existe des situations dans lesquelles utiliser des angles orientés facilite la vie. Il arrive en effet, dans un problème de géométrie, que la figure prenne des formes différentes selon les choix que l'on effectue au moment de la dessiner. Par exemple, si un énoncé commence par "Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatres points cocycliques", alors il y a plusieurs façons d'ordonner les quatre points sur le cercle. Disons que, sur notre figure et dans le but de résoudre le problème, on place les quatre points dans l'ordre $A$, $B$, $C$, $D$ comme sur la figure ci-dessous.On voudra alors, par exemple, utiliser l'égalité évidente $\widehat{ABC} = \widehat{ABD}+\widehat{DBC}$ (en angles non-orientés). Or, cette égalité est certes vraie sur notre figure, mais il existe d'autres configurations pour lesquelles elle n'est plus vraie ! Par exemple, plaçons les quatre points dans l'ordre $A$, $B$, $D$, $C$ comme sur la figure suivante.
En angles non-orientés, il s'avère que $\widehat{ABC} = \widehat{ABD} - \widehat{DBC}$ (et non plus $\widehat{ABD} + \widehat{DBC}$) ! Si l'on travaille avec des angles non-orientés, il faut donc envisager les deux cas et faire deux raisonnements différents pour résoudre le problème quelle que soit la situation rencontrée ! Cela rend alors les choses deux fois plus longues, d'autant qu'il est probable qu'il faille encore recouper le raisonnement en deux parties plus tard pour les mêmes raisons.
Si par contre on décide de travailler avec des angles orientés (auquel cas il est important de le préciser), alors les choses s'avèrent être plus simples. En effet, en angles orientés, l'égalité $\widehat{ABC} = \widehat{ABD}+\widehat{DBC}$ est correcte quelle que soit la configuration ! Cela vient du fait que $\widehat{CBD} = -\widehat{DBC}$. Il n'est donc pas nécessaire de commencer à discuter différents cas.
Il est toutefois nécessaire, quand plusieurs configurations sont possibles et que l'on décide de travailler avec des angles orientés, de bien vérifier que les angles orientés résolvent le problème des configurations multiples. En effet, il existe des situations pour lesquelles cela ne fonctionne pas. Par exemple, l'égalité $\widehat{ABD} = \widehat{ACD}$ est vraie dans la première figure ci-dessus mais n'est pas correcte dans la deuxième, que les angles soient orientés ou non !
Remarque importante
Nous rappelons que, par défaut, toute la théorie, tous les exercices et tous les problèmes sur ce site sont écrits en angles non-orientés. Toutes les amplitudes que nous considérons sont donc à interpréter avec une valeur entre $0$ et $\pi$ (c'est-à-dire entre $0^\circ$ et $180^\circ$), sauf mention explicite du contraire. Pour ces mêmes raisons, un étudiant qui souhaite utiliser les angles orientés dans la résolution d'un problème doit le mentionner explicitement.