Une fonction
arithmétique est simplement une fonction $f \colon \mathbb{N}_0 \to \mathbb{R}$. Parmi ces fonctions, nous distinguons deux cas intéressants :
Remarquons que la supposition $f(1) = 1$ n'est quasi pas restrictive : elle revient juste à demander que la fonction $f$ soit non-nulle. En effet l'égalité $f(1 \cdot 1) = f(1) \cdot f(1)$ implique à elle seule que $f(1) \in \{0, 1\}$, et si on avait $f(1) = 0$ alors on aurait tout de suite $f(1 \cdot n) = f(1) \cdot f(n) = 0$ pour tout $n \in \mathbb{N}_0$.
Dans le contexte des fonctions (totalement) multiplicatives, il est naturel d'utiliser le théorème fondamental de l'arithmétique : la décomposition en facteurs premiers. On obtient en effet facilement les descriptions suivantes.
Lemme
Soit $f \colon \mathbb{N}_0 \to \mathbb{R}$ une fonction arithmétique. Alors :
- $f$ est multiplicative si et seulement si
$$f(n) = f(p_1^{e_1})\cdot f(p_2^{e_2}) \cdot \ldots \cdot f(p_k^{e_k}) \quad (1)$$ pour tout $n \in \mathbb{N}_0$, où $n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{e_k}$ est la décomposition en facteurs premiers de $n$.
- $f$ est totalement multiplicative si et seulement si
$$f(n) = f(p_1)^{e_1}\cdot f(p_2)^{e_2} \cdot \ldots \cdot f(p_k)^{e_k} \quad (2)$$ pour tout $n \in \mathbb{N}_0$, où $n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{e_k}$ est la décomposition en facteurs premiers de $n$.
Il est à noter que $(1)$ et $(2)$ se lisent "$f(1) = 1$" pour $n = 1$, puisque $1$ possède une décomposition en facteurs premiers sans aucun facteur.
Démonstration
Il est évident à partir de la définition qu'une fonction multiplicative vérifie $(1)$ et qu'une fonction totalement multiplicative vérifie $(2)$.
Supposons à présent qu'une fonction arithmétique $f$ vérifie $(1)$. Comme dit plus haut, on a déjà $f(1) = 1$ en prenant $n = 1$ dans $(1)$. D'autre part, si $m, n \in \mathbb{N}_0$ sont premiers entre eux alors leurs décompositions $m = p_1^{e_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{e_k}$ et $n = q_1^{f_1} \cdot \ldots \cdot q_\ell^{f_\ell}$ n'ont aucun nombre premier en commun. Autrement dit la décomposition en facteurs premiers de $mn$ est $p_1^{e_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{e_k} \cdot q_1^{f_1} \cdot \ldots \cdot q_\ell^{f_\ell}$ et il découle directement de $(1)$ que $f(mn) = f(m)f(n)$, d'où $f$ est multiplicative.
Si maintenant $f$ vérifie $(2)$, alors on a à nouveau $f(1) = 1$ comme décrit plus haut. De plus, si $m, n \in \mathbb{N}_0$ sont des nombres ayant pour décompositions $m = p_1^{e_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{e_k}$ et $n = p_1^{f_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{f_k}$ (où cette fois on utilise les mêmes nombres premiers, en rajoutant des nombres premiers exposant $0$ à chaque décomposition si nécessaire), alors on a $mn = p_1^{e_1+f_1} \cdot \ldots \cdot p_k^{e_k+f_k}$. En utilisant $(2)$ on trouve directement que $f(mn) = f(m)f(n)$, donc $f$ est bel et bien totalement multiplicative.
Le résultat précédent implique que, pour "connaître" une fonction multiplicative, il suffit de connaître ses valeurs en chaque puissance de nombre premier. Si cette fonction est totalement multiplicative, il suffit de connaître ses valeurs en chaque nombre premier.
De nombreuses fonctions "connues" sont multiplicatives voire totalement multiplicatives. L'exemple le plus basique est la fonction constante $1\ \colon\ n \mapsto 1$ qui est évidemment totalement multiplicative.
Un exemple moins trivial est la fonction "nombre de diviseurs", traditionnellement notée $\tau$ (ou $\sigma_0$), qui à chaque nombre $n$ associe son nombre de diviseurs positifs. On peut voir qu'elle est multiplicative en utilisant notre lemme, puisque
$$\tau(p_1^{e_1}\cdot\ldots\cdot p_k^{e_k}) = (e_1+1)\cdot \ldots \cdot(e_k+1) = \tau(p_1^{e_1})\cdot \ldots \cdot \tau(p_k^{e_k}).$$