Concours > Concours #1

Énoncé

Sur un tableau, $n$ nombres entiers sont écrits (avec $n \geq 3$). Ces nombres sont strictement positifs, inférieurs ou égaux à $(n-1)!$, et distincts deux à deux. Pour chaque paire de nombres sur le tableau, Odilon a calculé le quotient entier du plus grand par le plus petit et a écrit le résultat dans son carnet. Prouver qu'il y a au moins deux nombres égaux dans le carnet d'Odilon.

(Le quotient entier de deux nombres est la partie entière de leur quotient. Par exemple, le quotient entier de $27$ par $4$ est $6$.)

Énoncé

Montrer que si $p$ est un nombre premier tel que $p+1$ est divisible par $12$, alors $p$ divise
$$16 \cdot \prod_{n=2}^{p-2} \left((1-n^2+n^4)(1-2n^2+n^4) \right) - 1.$$

Énoncé

Soit $ABC$ un triangle et $D$ un point de $[AB]$ tel que $4 \cdot |AD| = |AB|$. Soit $P$ le point appartenant au cercle circonscrit à $ABC$, du même côté de $AB$ que $C$, et tel que $\widehat{PDA} = \widehat{ACB}$. Prouver que $|PB| = 2 \cdot |PD|$.

Énoncé

Trouver toutes les fonctions $f \colon \mathbb Q \to \mathbb Q$ telles que
$$f(x)+f(t) = f(y)+f(z)$$ pour tous nombres rationnels $x < y < z < t$ formant une progression arithmétique.

Énoncé

Soit $(a_n)_{n \geq 1}$ une suite d'entiers vérifiant la relation
$$a_{n+2} = a_{n+1}+a_n + 2019$$ pour tout $n \geq 1$. Montrer qu'il existe $n \geq 1$ tel que $|a_n|$ n'est pas premier.

Énoncé

Soient $P_1,\ldots, P_{2019}$ les $2019$ points d'un quadrillage régulier $3 \times 673$ dans le plan. On dit qu'une droite $\ell$ du plan est sympathique si les points $P_1, \ldots, P_{2019}$ ont $2019$ projections distinctes sur $\ell$. De plus, on dit qu'une droite sympathique orientée $\ell$ induit la permutation $\sigma$ de $\{1,\ldots,2019\}$ si les projections $Q_1, \ldots, Q_{2019}$ des points $P_1, \ldots, P_{2019}$ sur $\ell$ apparaissent dans l'ordre $Q_{\sigma(1)}, \ldots, Q_{\sigma(2019)}$ sur $\ell$ (en suivant son orientation). Combien de permutations différentes de $\{1,\ldots,2019\}$ peuvent être induites par une droite sympathique orientée du plan ?