Concours > Concours #10

Description

Dans cette période de confinement, on vous propose un petit concours pour occuper vos journées. Dix problèmes sur des thèmes variés vous seront proposés (sans géométrie bien évidemment ), et chaque problème restera ouvert aux soumissions pendant quatre jours.

À partir de lundi, vous aurez accès tous les jours à deux problèmes supplémentaires, le premier étant plus abordable que le second (sauf le dernier jour où les deux seront difficiles ). Amusez-vous bien et bon courage !

Organisateurs du concours : ⁶Emile Averous, ⁴Alexandre Camelin, ⁴Corentin S. et ³Adrien Tousnakhoff.

• Problèmes
• Classement final
• Statistiques

Problème #1

Solutions acceptées du lundi 20 avril 2020 à 16h00 au vendredi 24 avril 2020 à 16h00 (heures belges). Énoncé Soit $n$ un entier strictement positif et $a$ un entier premier avec $n$. Montrer que $a^{n!}-1$ est divisible par $n$. Statistiques Tenté par 103 personnes Scores parfaits : 96 Origine du problème : X. Gourdon - Les maths en tête

Problème #2

Solutions acceptées du lundi 20 avril 2020 à 16h00 au vendredi 24 avril 2020 à 16h00 (heures belges). Énoncé Trouver tous les nombres $n \in \mathbb{N}_0$ tels que $$5\cdot \sigma(n) = 6n-13,$$ où $\sigma(n)$ désigne la somme des diviseurs positifs de $n$. Statistiques Tenté par 58 personnes Scores parfaits : 40

Problème #3

Solutions acceptées du mardi 21 avril 2020 à 16h00 au samedi 25 avril 2020 à 16h00 (heures belges). Énoncé Pour tout $x\in\mathbb{R}$, on note $\{x\}$ la partie fractionnaire de $x$, c'est-à-dire $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ où $\lfloor x\rfloor$ est la partie entière de $x$. Trouver tous les réels $x > 0$ tel que $\{x\}=\left\{\frac1x\right\}$. Statistiques Tenté par 67 personnes Scores parfaits : 52

Problème #4

Solutions acceptées du mardi 21 avril 2020 à 16h00 au samedi 25 avril 2020 à 16h00 (heures belges). Énoncé Trouver toutes les fonctions continues $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ telles que $$f(f(x))=\frac{f(x)+x}2\ \text{ pour tout } x\in \mathbb{R}$$ Statistiques Tenté par 50 personnes Scores parfaits : 24

Problème #5

Solutions acceptées du mercredi 22 avril 2020 à 16h00 au dimanche 26 avril 2020 à 16h00 (heures belges). Énoncé Soient $a,b,c$ trois nombres réels tels que $$\left\{\begin{align} a+b+c &> 0\\ ab+bc+ca &> 0\\ abc &> 0 \end{align}\right.$$ Montrer que $a, b, c$ sont tous les trois strictement positifs. Statistiques Tenté par 86 personnes Scores parfaits : 81 Origine du problème : Solutions d'expert tome 2

Problème #6

Solutions acceptées du mercredi 22 avril 2020 à 16h00 au dimanche 26 avril 2020 à 16h00 (heures belges). Énoncé Montrer que pour une infinité d'entiers positifs $n$, l'écriture décimale de $2^n$ commence par $7$. Statistiques Tenté par 47 personnes Scores parfaits : 24

Problème #7

Solutions acceptées du jeudi 23 avril 2020 à 16h00 au lundi 27 avril 2020 à 16h00 (heures belges). Énoncé Déterminer la valeur minimale que peut prendre l'expression $$S=\sqrt{(a+25)^2+2(b+3)^2+(c+49)^2}+\sqrt{(b+25)^2+2(c+3)^2+(d+49)^2}+\sqrt{(c+25)^2+2(d+3)^2+(a+49)^2}+\sqrt{(d+25)^2+2(a+3)^2+(b+49)^2}$$ lorsque $a,b,c,d \in \mathbb R$. Statistiques Tenté par 44 personnes Scores parfaits : 31

Problème #8

Solutions acceptées du jeudi 23 avril 2020 à 16h00 au lundi 27 avril 2020 à 16h00 (heures belges). Énoncé Soit $M \geq 1$ un entier et soit $A_1, A_2, \ldots, A_s$ une famille de sous-ensembles de $\{1, \ldots, M\}$ telle que $A_i \not \subseteq A_j$ pour tout $i \neq j$. Montrer que $$\displaystyle\sum_{i=1}^s\frac1{\binom{M}{a_i}}\leq 1,$$ où $a_i = |A_i|$ pour tout $i \in \{1, \ldots, s\}$. Statistiques Tenté par 30 personnes Scores parfaits : 20 Origine du problème : Russian Mathematical Olympiad 1987

Problème #9

Solutions acceptées du vendredi 24 avril 2020 à 16h00 au mardi 28 avril 2020 à 16h00 (heures belges). Énoncé Soit $n \in \mathbb{N}_0$. Montrer que $n$ est impair si et seulement si $n$ divise $1^n + 2^n + \ldots + n^n$. Statistiques Tenté par 48 personnes Scores parfaits : 35 Origine du problème : RMS n°130 (oral X)

Problème #10

Solutions acceptées du vendredi 24 avril 2020 à 16h00 au mardi 28 avril 2020 à 16h00 (heures belges). Énoncé Soit $A$ un ensemble fini d'entiers naturels non nuls. Prouver qu'il existe un ensemble fini $B$ tel que $A\subseteq B\subseteq \mathbb{N}_0$ et $$\displaystyle \prod_{x\in B}x =\sum_{x\in B}x^2$$ Statistiques Tenté par 23 personnes Scores parfaits : 19 Origine du problème : Iran Mathematical Olympiad 1995