Concours > Concours #12

Énoncé

Trouver tous les nombres premiers $p$ tels que $4p^2+1$ s'exprime comme somme de trois carrés d'entiers strictement positifs.

Énoncé

Soit $\mathcal{G}$ un graphe orienté (c'est-à-dire un ensemble de sommets reliés par des arêtes orientées) fini (c'est-à-dire qu'il y a un nombre fini de sommets et un nombre fini d'arêtes). Le degré d'un sommet $S$ de $\mathcal{G}$, noté $\deg{S}$, est défini comme le nombre d'arêtes orientées dont $S$ est l'origine. On suppose qu'initialement, pour tous sommets $A$ et $B$ de $\mathcal{G}$, il existe soit un chemin qui va de $A$ à $B$, soit un chemin qui va de $B$ à $A$, soit les deux. Une opération consiste à changer l'orientation d'une arête.

Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\mathcal{G}$ pour qu'il soit possible, après un nombre fini d'opérations, d'obtenir un graphe dont le degré de chaque sommet est pair.

Énoncé

Soit $ABC$ un triangle, et soient $H_A,H_B,H_C$ les pieds des hauteurs issues de $A,B,C$ respectivement dans ce triangle. On note $Q$ l'intersection de la droite $BC$ avec la droite $H_BH_C$. Soit $\Gamma$ le cercle circonscrit au triangle $AH_BH_C$ et soit $\Gamma'$ le cercle circonscrit au triangle $QH_AH_C$. Montrer que les cercles $\Gamma$ et $\Gamma'$ sont tangents.

Énoncé

Trouver toutes les fonctions $f \colon \mathbb{Z}^2 \to \mathbb{Z}_{\ge 0}$ telles que
$$4f(x,y)=f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x+1,y)+f(x,y-1) \quad \text{pour tous $x, y \in \mathbb{Z}$.}$$

Énoncé

Soient $\Gamma_1$ et $\Gamma_2$ deux cercles de centres respectifs $O_1$ et $O_2$ qui s'intersectent en deux points $X$ et $Y$. Soit $d$ une droite passant par $X$ et coupant $\Gamma_1$ en $P$ et $\Gamma_2$ en $Q$. Les droites $PO_1$ et $QO_2$ s'intersectent en un point $R$. Montrer que l'amplitude de l'angle formé par les droites $PR$ et $QR$ ne dépend pas de la droite $d$ choisie.

Énoncé

On dit qu'un ensemble $S$ d'entiers strictements positifs est beau si pour tous $a,b \in S$ (pas nécessairement distincts), l'un exactement des nombres $a+b$ et $|a-b|$ appartient à $S$.

Combien d'ensembles beaux contiennent $2020$ ?