Concours > Concours #16

Description

Trente degrés, du soleil, un petit vent d'été… Qu’y a-t-il de mieux que de faire des maths tout seul dans sa cave ? :-P

Dix plats variés et succulents vous attendent, allant de facile à très dur. Des légendes racontent même qu’il y aura un problème de géométrie… Qu'attendez-vous ? Armez-vous de votre crayon et tentez de décrocher une médaille !

Organisateurs du concours : Keryann M., Simon M. et Adrien Patoz.

Problème #1

Solutions acceptées du mercredi 28 juillet 2021 à 7h00 au jeudi 29 juillet 2021 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

On dispose les nombres $1, 2, \dots, 64$ sur les cases d'un échiquier $8\times 8$, avec un nombre par case. Dans un tel arrangement, un nombre $n\in\{1,2,\dots 64\}$ est appelé double-plus-bon s'il est à la fois le plus grand dans sa ligne et le plus petit dans sa colonne. Démontrer ou infirmer les deux propositions suivantes :
  1. Tout arrangement admet au moins un nombre double-plus-bon.
  2. Tout arrangement admet au plus un nombre double-plus-bon.

Statistiques

Tenté par 132 personnes
Scores parfaits : 122
Origine du problème : Austrian Mathematical Olympiad 2016, Problème 3

Problème #2

Solutions acceptées du jeudi 29 juillet 2021 à 7h00 au vendredi 30 juillet 2021 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Soit $ABC$ un triangle acutangle, isocèle en $A$, et soit $O$ le centre de son cercle circonscrit. Les droites $BO$ et $CO$ coupent les droites $AC$ et $AB$ en $B'$ et $C'$ respectivement. Soit $\ell$ la droite parallèle à $AC$ passant par $C'$. Montrer que $\ell$ est tangente au cercle circonscrit au triangle $B'OC$.

Statistiques

Tenté par 87 personnes
Scores parfaits : 70
Origine du problème : All-Russian Mathematical Olympiad 2017, Grade 10, Problème 2

Problème #3

Solutions acceptées du vendredi 30 juillet 2021 à 7h00 au samedi 31 juillet 2021 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Trouver toutes les fonctions $f\colon \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ telles que :
  • $f(x, 0) = f(0,x)= x$ pour tout $x\in \mathbb{R}^+$ ;
  • $f(f(x,y),z) = f(x,f(y,z))$ pour tous $x,y,z\in \mathbb{R}^+$ ;
  • Il existe un réel $k\geq 1$ tel que $f(x+y, x+z) = kx + f(y,z)$ pour tous $x,y,z\in \mathbb{R}^+$. Note: le réel $k$ ne dépend pas de $x,y,z$

Statistiques

Tenté par 101 personnes
Scores parfaits : 67
Origine du problème : Art of Problem Solving

Problème #4

Solutions acceptées du samedi 31 juillet 2021 à 7h00 au dimanche 1 août 2021 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Soit $(a_n)_{n \geq 0}$ une suite de nombres rationnels avec $a_0=2021$ et $a_{n+1}=a_n+\frac{2}{a_n}$ pour tout $n\geq 0$. Montrer que la suite ne contient pas un carré d'un nombre rationnel.

Statistiques

Tenté par 87 personnes
Scores parfaits : 67
Origine du problème : Austrian Mathematical Olympiad 2017, Problème 3

Problème #5

Solutions acceptées du dimanche 1 août 2021 à 7h00 au lundi 2 août 2021 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Soient $a,b,c$ des nombres réels strictement positifs tels que $a+b+c\geq abc$. Montrer qu'au moins deux des trois inégalités suivantes sont satisfaites :
$$\frac{2}{a} + \frac{3}{b} + \frac{6}{c} \geq 6,\qquad \frac{2}{b} + \frac{3}{c} + \frac{6}{a} \geq 6,\qquad \frac{2}{c} + \frac{3}{a} + \frac{6}{b} \geq 6$$

Statistiques

Tenté par 48 personnes
Scores parfaits : 23
Origine du problème : Switzerland Team Selection Test 2007

Problème #6

Solutions acceptées du lundi 2 août 2021 à 7h00 au mardi 3 août 2021 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Au pays des Merveilles, il y a au moins $5$ villes. Certaines sont directement reliées entre elles par une ligne de bus ou une ligne de tram. Chaque ville est au moins reliée à une autre, et pour tout groupe de $4$ villes, au moins $3$ paires de villes sont reliées directement.

Pour emprunter un lien direct entre deux villes, il faut payer une pièce d'or. Pour encourager les habitants à utiliser les transports publics, il y a une exception à cette règle. En effet, si on va de la ville $A$ à la ville $B$ puis à la ville $C$, que le type de transport entre $A$ et $B$ et entre $B$ et $C$ est le même et qu'on a payé une pièce d'or pour le premier déplacement, alors au lieu de payer une pièce d'or pour le deuxième déplacement, on regagne la pièce d'or payée lors du premier déplacement. Par exemple, si la suite des types de transport est ($B$ pour bus et $T$ pour tram) $BBBTBBTTTTBB$, alors il faudra payer $(1-1+1) + (1) + (1-1) + (1-1+1-1) + (1-1)=2$ pièces d'or.

Montrer qu'il est possible de se déplacer entre chaque paire de villes avec au plus deux pièces d'or. (La facturation se fait à la fin.)

Statistiques

Tenté par 47 personnes
En cours de correction

Problème #7

Solutions acceptées du mardi 3 août 2021 à 7h00 au mercredi 4 août 2021 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Trouver toutes les fonctions $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ telles que $f(0)>0$ et $f(x+y)\geq f(x)+yf(f(x))$ pour tous $x, y\in \mathbb{R}$.

Statistiques

Tenté par 39 personnes
Scores parfaits : 17
Origine du problème : International Mathematical Competition 2001, Jour 2, Problème 5

Problème #8

Solutions acceptées du mercredi 4 août 2021 à 7h00 au jeudi 5 août 2021 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Soient $P$ et $Q$ deux polynômes à coefficients entiers. On suppose que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux dans $\mathbb{Q}[X]$. Montrer que la suite de terme général $u_n = \mathrm{pgcd}(P(n),Q(n))$ est périodique.

Statistiques

Tenté par 37 personnes
Scores parfaits : 31
Origine du problème : RMS 131ème année, Numéro 2, Exercice 23

Problème #9

Solutions acceptées du jeudi 5 août 2021 à 7h00 au dimanche 8 août 2021 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Pour un entier $n$, soient $\Omega(n)$ et $\omega(n)$ son plus grand et plus petit diviseur premier.

Tom et Jerry jouent au jeu suivant :
  1. Tom choisit $1000$ polynômes à coefficients entiers.
  2. Jerry en prend $500$ parmi les $1000$ de Tom et Tom prend les $500$ restants. On appelle $T$ l'ensemble des polynômes de Tom et $J$ l'ensemble des polynômes de Jerry.
Jerry gagne si pour tout entier $n$, on a :
$$\max_{P\in J}\left(\Omega(P(n))\right)\ge \min_{Q\in T}\left(\omega(Q(n))\right)$$ Qui de Tom ou Jerry a une stratégie gagnante ?

Remarque : Les fonctions $\Omega$ et $\omega$ ne sont bien définies que lorsque $|n|\ge 2$. On pose donc $\Omega(\pm1)=\omega(\pm1)=1$, $\Omega(0)=+\infty$ et $\omega(0)=2$.

Statistiques

Tenté par 15 personnes
Scores parfaits : 13
Origine du problème : Iran Team Selection Test 2021, Jour 2, Test 1, Problème 4

Problème #10

Solutions acceptées du jeudi 5 août 2021 à 7h00 au dimanche 8 août 2021 à 23h59 (heures belges).

Énoncé

Soit $P\in \mathbb Z[X]$ un polynôme non constant, et $a,b\in \mathbb Z$ tels que pour tout $n\in \mathbb N_0$, on ait
$$a^n+P(n)=0\ \text{ ou }\ a^n+P(n)\mid b^n+P(n)$$ Montrer que $a=b$.

Statistiques

Tenté par 20 personnes
En cours de correction