Concours > Concours #16

Énoncé

On dispose les nombres $1, 2, \dots, 64$ sur les cases d'un échiquier $8\times 8$, avec un nombre par case. Dans un tel arrangement, un nombre $n\in\{1,2,\dots 64\}$ est appelé double-plus-bon s'il est à la fois le plus grand dans sa ligne et le plus petit dans sa colonne. Démontrer ou infirmer les deux propositions suivantes :

1. Tout arrangement admet au moins un nombre double-plus-bon.
2. Tout arrangement admet au plus un nombre double-plus-bon.

Énoncé

Soit $ABC$ un triangle acutangle, isocèle en $A$, et soit $O$ le centre de son cercle circonscrit. Les droites $BO$ et $CO$ coupent les droites $AC$ et $AB$ en $B'$ et $C'$ respectivement. Soit $\ell$ la droite parallèle à $AC$ passant par $C'$. Montrer que $\ell$ est tangente au cercle circonscrit au triangle $B'OC$.

Énoncé

Trouver toutes les fonctions $f\colon \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^+\to \mathbb{R}^+$ telles que :

• $f(x, 0) = f(0,x)= x$ pour tout $x\in \mathbb{R}^+$ ;
• $f(f(x,y),z) = f(x,f(y,z))$ pour tous $x,y,z\in \mathbb{R}^+$ ;
• Il existe un réel $k\geq 1$ tel que $f(x+y, x+z) = kx + f(y,z)$ pour tous $x,y,z\in \mathbb{R}^+$. Note: le réel $k$ ne dépend pas de $x,y,z$

Énoncé

Soit $(a_n)_{n \geq 0}$ une suite de nombres rationnels avec $a_0=2021$ et $a_{n+1}=a_n+\frac{2}{a_n}$ pour tout $n\geq 0$. Montrer que la suite ne contient pas un carré d'un nombre rationnel.

Énoncé

Soient $a,b,c$ des nombres réels strictement positifs tels que $a+b+c\geq abc$. Montrer qu'au moins deux des trois inégalités suivantes sont satisfaites :
$$\frac{2}{a} + \frac{3}{b} + \frac{6}{c} \geq 6,\qquad \frac{2}{b} + \frac{3}{c} + \frac{6}{a} \geq 6,\qquad \frac{2}{c} + \frac{3}{a} + \frac{6}{b} \geq 6$$

Énoncé

Au pays des Merveilles, il y a au moins $5$ villes. Certaines sont directement reliées entre elles par une ligne de bus ou une ligne de tram. Chaque ville est au moins reliée à une autre, et pour tout groupe de $4$ villes, au moins $3$ paires de villes sont reliées directement.

Pour emprunter un lien direct entre deux villes, il faut payer une pièce d'or. Pour encourager les habitants à utiliser les transports publics, il y a une exception à cette règle. En effet, si on va de la ville $A$ à la ville $B$ puis à la ville $C$, que le type de transport entre $A$ et $B$ et entre $B$ et $C$ est le même et qu'on a payé une pièce d'or pour le premier déplacement, alors au lieu de payer une pièce d'or pour le deuxième déplacement, on regagne la pièce d'or payée lors du premier déplacement. Par exemple, si la suite des types de transport est ($B$ pour bus et $T$ pour tram) $BBBTBBTTTTBB$, alors il faudra payer $(1-1+1) + (1) + (1-1) + (1-1+1-1) + (1-1)=2$ pièces d'or.

Montrer qu'il est possible de se déplacer entre chaque paire de villes avec au plus deux pièces d'or. (La facturation se fait à la fin.)

Énoncé

Trouver toutes les fonctions $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ telles que $f(0)>0$ et $f(x+y)\geq f(x)+yf(f(x))$ pour tous $x, y\in \mathbb{R}$.

Énoncé

Soient $P$ et $Q$ deux polynômes à coefficients entiers. On suppose que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux dans $\mathbb{Q}[X]$. Montrer que la suite de terme général $u_n = \mathrm{pgcd}(P(n),Q(n))$ est périodique.

Énoncé

Pour un entier $n$, soient $\Omega(n)$ et $\omega(n)$ son plus grand et plus petit diviseur premier.

Tom et Jerry jouent au jeu suivant :

1. Tom choisit $1000$ polynômes à coefficients entiers.
2. Jerry en prend $500$ parmi les $1000$ de Tom et Tom prend les $500$ restants. On appelle $T$ l'ensemble des polynômes de Tom et $J$ l'ensemble des polynômes de Jerry.

Jerry gagne si pour tout entier $n$, on a :
$$\max_{P\in J}\left(\Omega(P(n))\right)\ge \min_{Q\in T}\left(\omega(Q(n))\right)$$ Qui de Tom ou Jerry a une stratégie gagnante ?

Remarque : Les fonctions $\Omega$ et $\omega$ ne sont bien définies que lorsque $|n|\ge 2$. On pose donc $\Omega(\pm1)=\omega(\pm1)=1$, $\Omega(0)=+\infty$ et $\omega(0)=2$.

Énoncé

Soit $P\in \mathbb Z[X]$ un polynôme non constant, et $a,b\in \mathbb Z$ tels que pour tout $n\in \mathbb N_0$, on ait
$$a^n+P(n)=0\ \text{ ou }\ a^n+P(n)\mid b^n+P(n)$$ Montrer que $a=b$.