Processing

Concours > Concours #3

Description

Ce troisième concours est bien différent des deux premiers puisqu'il sera question d'algèbre linéaire. Seule la connaissance des notions les plus élémentaires sera nécessaire pour participer. Les six problèmes, à résoudre durant les 10 premiers jours de mars, pourront divertir ceux ayant déjà ces connaissances mais également faire découvrir l'algèbre linéaire à ceux qui ne la connaîtraient pas encore. Les quelques notions à connaître sont par exemple expliquées ici et . Je remercie Nicolas Radu pour avoir rendu tout cela possible, en espérant que ce concours un peu particulier trouve des amateurs et amatrices ;-). D'avance, bonne chance à toutes et à tous !

Organisateur du concours : 4Damien Lefèvre.

Problème #1

Solutions acceptées du vendredi 1 mars 2019 à 16h00 au dimanche 10 mars 2019 à 23h59 (heures belges).
Énoncé
On travaille dans Rn, avec n3, et on désigne par Sn l'ensemble des permutations de {1,,n}. Pour tout σSn, considérons l'application linéaire
fσ:RnRn(x1,,xn)(xσ(1),,xσ(n)). Si Fσ désigne l'ensemble des points fixes de fσ, alors déterminer la dimension de Fσ en fonction de σ (et de ses propriétés).
Statistiques
Tenté par 9 personnes
Scores parfaits : 7

Problème #2

Solutions acceptées du vendredi 1 mars 2019 à 16h00 au dimanche 10 mars 2019 à 23h59 (heures belges).
Énoncé
Considérons maintenant l'application linéaire suivante :
f:RnRn(x1,,xn)(xn,x1,x2,,xn1). Pour k1, posons fk=fffk fois et Fk l'ensemble des points fixes de fk. Déterminer la dimension de Fk en fonction de n et k.
Statistiques
Tenté par 8 personnes
Scores parfaits : 2

Problème #3

Solutions acceptées du vendredi 1 mars 2019 à 16h00 au dimanche 10 mars 2019 à 23h59 (heures belges).
Énoncé
Pour vRn, définissons Sv comme le sous-espace vectoriel de Rn engendré par l'ensemble
{fσ(v) | σSn}. Déterminer la dimension de Sv en fonction de v.
Statistiques
Tenté par 5 personnes
Scores parfaits : 3

Problème #4

Solutions acceptées du vendredi 1 mars 2019 à 16h00 au dimanche 10 mars 2019 à 23h59 (heures belges).
Énoncé
Montrer que Sv est également engendré par l'ensemble
{fσ(v) | σAn},An désigne l'ensemble des permutations paires de {1,,n}.
Statistiques
Tenté par 4 personnes
Scores parfaits : 2

Problème #5

Solutions acceptées du vendredi 1 mars 2019 à 16h00 au dimanche 10 mars 2019 à 23h59 (heures belges).
Énoncé
Soit L(Rn) l'espace vectoriel (de dimension n2) des applications linéaires de Rn dans Rn. Définissons S comme le sous-espace vectoriel de L(Rn) engendré par l'ensemble
{fσ | σSn}. Déterminer la dimension de S.
Statistiques
Tenté par 3 personnes
Scores parfaits : 2

Problème #6

Solutions acceptées du vendredi 1 mars 2019 à 16h00 au dimanche 10 mars 2019 à 23h59 (heures belges).
Énoncé
Donner une base d'un supplémentaire de S dans L(Rn), puis dans le sous-espace vectoriel constitué des applications satisfaisant la propriété suivante : si la somme des coordonnées d'un vecteur est nulle, alors il en va de même pour son image.
Statistiques
Tenté par 1 personne
Scores parfaits : 1